問題1: 周期が $2\pi$ の関数 $f(x) = |\sin x|$ （$-\pi \le x < \pi$）のフーリエ級数を求めます。ここで $f(x + 2\pi) = f(x)$ です。 問題2: $\epsilon > 0$ とします。関数 $f(x) = \begin{cases} \frac{1}{2\epsilon} & (|x| \le \epsilon) \\ 0 & (|x| > \epsilon) \end{cases}$ のフーリエ変換 $F(u)$ を求め、さらに $\lim_{\epsilon \to 0} F(u)$ を求めます。

1. 問題の内容

問題1: 周期が $2\pi$ の関数 $f(x) = |\sin x|$ （$-\pi \le x < \pi$）のフーリエ級数を求めます。ここで $f(x + 2\pi) = f(x)$ です。

問題2: $\epsilon > 0$ とします。関数

$f(x) = \begin{cases} \frac{1}{2\epsilon} & (|x| \le \epsilon) \\ 0 & (|x| > \epsilon) \end{cases}$

のフーリエ変換 $F(u)$ を求め、さらに $\lim_{\epsilon \to 0} F(u)$ を求めます。

2. 解き方の手順

問題1:

$f(x) = |\sin x|$ は偶関数なので、フーリエ級数は余弦級数になります。フーリエ級数は

$f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos(nx)$

の形です。ここで、

$a_0 = \frac{2}{\pi} \int_0^{\pi} |\sin x| dx = \frac{2}{\pi} \int_0^{\pi} \sin x dx = \frac{2}{\pi} [-\cos x]_0^{\pi} = \frac{2}{\pi} (-\cos \pi + \cos 0) = \frac{2}{\pi} (1+1) = \frac{4}{\pi}$

$a_n = \frac{2}{\pi} \int_0^{\pi} |\sin x| \cos(nx) dx = \frac{2}{\pi} \int_0^{\pi} \sin x \cos(nx) dx$

$a_n = \frac{1}{\pi} \int_0^{\pi} [\sin(x+nx) + \sin(x-nx)] dx = \frac{1}{\pi} \int_0^{\pi} [\sin((n+1)x) - \sin((n-1)x)] dx$

$n=1$ の場合: $a_1 = \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi} \sin x \cos x dx = \frac{1}{\pi} \int_0^{\pi} \sin 2x dx = \frac{1}{\pi} [-\frac{1}{2} \cos 2x]_0^{\pi} = 0$

$n \neq 1$ の場合: $a_n = \frac{1}{\pi} [-\frac{\cos((n+1)x)}{n+1} + \frac{\cos((n-1)x)}{n-1}]_0^{\pi}$

$a_n = \frac{1}{\pi} [-\frac{\cos((n+1)\pi)}{n+1} + \frac{\cos((n-1)\pi)}{n-1} + \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n-1}]$

$a_n = \frac{1}{\pi} [-\frac{(-1)^{n+1}}{n+1} + \frac{(-1)^{n-1}}{n-1} + \frac{n-1-(n+1)}{(n+1)(n-1)}]$

$a_n = \frac{1}{\pi} [(-1)^n (\frac{1}{n+1} + \frac{1}{n-1}) - \frac{2}{n^2-1}] = \frac{1}{\pi} [(-1)^n \frac{2n}{n^2-1} - \frac{2}{n^2-1}]$

$a_n = \frac{2}{\pi (n^2-1)} [n(-1)^n - 1]$

$n$ が偶数のとき、$a_n = \frac{2}{\pi(n^2-1)}[n-1]$

$n$ が奇数のとき、$a_n = \frac{2}{\pi(n^2-1)}[-n-1]$

nが偶数の時、$n = 2k$ とおくと $a_{2k} = \frac{2(2k-1)}{\pi(4k^2-1)}$

nが奇数の時、$n=2k+1$と置くと$a_{2k+1} = -\frac{2(2k+2)}{\pi((2k+1)^2 -1)}$

$|\sin x| = \frac{2}{\pi} - \frac{4}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos(2nx)}{4n^2-1}$

問題2:

フーリエ変換の定義は $F(u) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-jux} dx$ （$j$ は虚数単位）です。

したがって、

$F(u) = \int_{-\epsilon}^{\epsilon} \frac{1}{2\epsilon} e^{-jux} dx = \frac{1}{2\epsilon} \int_{-\epsilon}^{\epsilon} (\cos(ux) - j\sin(ux)) dx = \frac{1}{2\epsilon} [\frac{\sin(ux)}{u} + j\frac{\cos(ux)}{u}]_{-\epsilon}^{\epsilon}$

ここで、$f(x)$は偶関数なのでフーリエ変換は実数になります。したがって、$F(u) = \frac{1}{2\epsilon} \int_{-\epsilon}^{\epsilon} \cos(ux) dx = \frac{1}{2\epsilon} [\frac{\sin(ux)}{u}]_{-\epsilon}^{\epsilon} = \frac{1}{2\epsilon} [\frac{\sin(u\epsilon)}{u} - \frac{\sin(-u\epsilon)}{u}] = \frac{1}{2\epsilon} [\frac{\sin(u\epsilon)}{u} + \frac{\sin(u\epsilon)}{u}] = \frac{1}{2\epsilon} \cdot \frac{2\sin(u\epsilon)}{u} = \frac{\sin(u\epsilon)}{u\epsilon}$

$\lim_{\epsilon \to 0} F(u) = \lim_{\epsilon \to 0} \frac{\sin(u\epsilon)}{u\epsilon} = 1$

3. 最終的な答え

問題1:

$|\sin x| = \frac{2}{\pi} - \frac{4}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos(2nx)}{4n^2-1}$

問題2:

$F(u) = \frac{\sin(u\epsilon)}{u\epsilon}$

$\lim_{\epsilon \to 0} F(u) = 1$