問題は2つあります。 * 問題1：周期$2\pi$の関数 $f(x) = |\sin x|$（$-\pi \le x < \pi$）,$f(x + 2\pi) = f(x)$ のフーリエ級数を求める。 * 問題2：$\epsilon > 0$とする。関数 $f(x) = \begin{cases} \frac{1}{2\epsilon} & (|x| \le \epsilon) \\ 0 & (|x| > \epsilon) \end{cases}$ のフーリエ変換$F(u)$を求め、さらに$\lim_{\epsilon \to 0} F(u)$を求める。

はい、承知いたしました。画像に記載されている問題を解きます。

1. 問題の内容

問題は2つあります。

* 問題1：周期$2\pi$の関数 $f(x) = |\sin x|$（$-\pi \le x < \pi$）,$f(x + 2\pi) = f(x)$ のフーリエ級数を求める。

* 問題2：$\epsilon > 0$とする。関数

$f(x) = \begin{cases} \frac{1}{2\epsilon} & (|x| \le \epsilon) \\ 0 & (|x| > \epsilon) \end{cases}$

のフーリエ変換$F(u)$を求め、さらに$\lim_{\epsilon \to 0} F(u)$を求める。

2. 解き方の手順

* 問題1：

$f(x) = |\sin x|$ は偶関数であるから、フーリエ級数はフーリエコサイン級数になる。

フーリエコサイン級数は次のように表される。

$f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos(nx)$

ここで、$a_0$と$a_n$は次のように計算される。

$a_0 = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} f(x) dx = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} \sin x dx = \frac{2}{\pi} [-\cos x]_{0}^{\pi} = \frac{2}{\pi} (1 + 1) = \frac{4}{\pi}$

$a_n = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} f(x) \cos(nx) dx = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} \sin x \cos(nx) dx$

積和の公式$\sin x \cos(nx) = \frac{1}{2} [\sin((n+1)x) - \sin((n-1)x)]$を用いる。

$a_n = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} [\sin((n+1)x) - \sin((n-1)x)] dx$

$n = 1$のとき、$a_1 = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} \sin(2x) dx = \frac{1}{\pi} [-\frac{1}{2}\cos(2x)]_{0}^{\pi} = 0$

$n \ne 1$のとき、

$a_n = \frac{1}{\pi} [-\frac{\cos((n+1)x)}{n+1} + \frac{\cos((n-1)x)}{n-1}]_{0}^{\pi} = \frac{1}{\pi} [-\frac{\cos((n+1)\pi)}{n+1} + \frac{\cos((n-1)\pi)}{n-1} + \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n-1}]$

$a_n = \frac{1}{\pi} [-\frac{(-1)^{n+1}}{n+1} + \frac{(-1)^{n-1}}{n-1} + \frac{n-1 - (n+1)}{(n+1)(n-1)}] = \frac{1}{\pi} [\frac{(-1)^{n}}{n+1} + \frac{(-1)^{n}}{n-1} - \frac{2}{n^2-1}]$

$a_n = \frac{(-1)^n}{\pi} [\frac{1}{n+1} + \frac{1}{n-1}] - \frac{2}{\pi(n^2-1)} = \frac{(-1)^n}{\pi} \frac{2n}{n^2-1} - \frac{2}{\pi(n^2-1)} = \frac{2}{\pi(n^2-1)} [(-1)^n n - 1]$

$n$が偶数のとき、$a_n = \frac{2}{\pi(n^2-1)} [n - 1]$

$n$が奇数のとき、$a_n = \frac{2}{\pi(n^2-1)} [-n - 1]$

$n$が奇数のとき、$a_n = 0$ となるため、偶数のみ計算すればよい。

$n = 2k$とすると、$a_{2k} = \frac{2}{\pi((2k)^2-1)} [2k - 1] = \frac{2(2k-1)}{\pi(4k^2-1)} = \frac{2(2k-1)}{\pi(2k-1)(2k+1)} = \frac{2}{\pi(2k+1)}$

したがって、

$f(x) = \frac{2}{\pi} + \sum_{k=1}^{\infty} \frac{2(2k-1)}{\pi(4k^2-1)} \cos(2kx) = \frac{2}{\pi} + \sum_{k=1}^{\infty} \frac{2}{\pi(2k+1)}\cos(2kx)$

* 問題2：

フーリエ変換の定義に従って、

$F(u) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-iux} dx = \int_{-\epsilon}^{\epsilon} \frac{1}{2\epsilon} e^{-iux} dx$

$F(u) = \frac{1}{2\epsilon} \int_{-\epsilon}^{\epsilon} (\cos(ux) - i\sin(ux)) dx$

$f(x)$は偶関数なので、$F(u) = \frac{1}{\epsilon} \int_{0}^{\epsilon} \cos(ux) dx$

$F(u) = \frac{1}{\epsilon} [\frac{\sin(ux)}{u}]_{0}^{\epsilon} = \frac{\sin(u\epsilon)}{\epsilon u}$

$\lim_{\epsilon \to 0} F(u) = \lim_{\epsilon \to 0} \frac{\sin(u\epsilon)}{\epsilon u}$

$\lim_{\epsilon \to 0} \frac{\sin(u\epsilon)}{\epsilon u} = \lim_{\epsilon \to 0} \frac{u\epsilon}{\epsilon u} = 1$

3. 最終的な答え

* 問題1：$f(x) = \frac{2}{\pi} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2[(-1)^n n - 1]}{\pi(n^2-1)} \cos(nx)$

より簡潔にまとめると、$f(x) = \frac{2}{\pi} + \sum_{k=1}^{\infty} \frac{-4}{\pi(4k^2-1)} \cos(2kx)$

* 問題2：$F(u) = \frac{\sin(u\epsilon)}{\epsilon u}$, $\lim_{\epsilon \to 0} F(u) = 1$