(1) 極限値を求める問題が2つあります。1つ目は $\lim_{x \to 1} (2x+1)$、2つ目は$\lim_{h \to 0} \frac{h^2 - 3h + 9}{h}$です。 (2) 与えられた関数を微分する問題が3つあります。 1つ目は $y = x^2 - 2x + 2$、2つ目は $y = -\frac{4}{3}x^3 + \frac{2}{3}x^2 + \frac{1}{5}$、3つ目は $y = (x+1)(2x^2 - x + 1)$ です。 (3) 関数 $f(x) = -2x^2 + 4x - 3$ について、$x=1$ における微分係数 $f'(1)$ を求めます。 (4) $f'(0) = -4$, $f'(2) = 0$, $f(0) = 8$ を満たす2次関数 $f(x)$ を求めます。

はい、承知いたしました。画像にある問題のうち、最初の大問1の(1)～(4)の解答を記述します。

1. 問題の内容

(1) 極限値を求める問題が2つあります。1つ目は $\lim_{x \to 1} (2x+1)$、2つ目は$\lim_{h \to 0} \frac{h^2 - 3h + 9}{h}$です。

(2) 与えられた関数を微分する問題が3つあります。

1つ目は $y = x^2 - 2x + 2$、2つ目は $y = -\frac{4}{3}x^3 + \frac{2}{3}x^2 + \frac{1}{5}$、3つ目は $y = (x+1)(2x^2 - x + 1)$ です。

(3) 関数 $f(x) = -2x^2 + 4x - 3$ について、$x=1$ における微分係数 $f'(1)$ を求めます。

(4) $f'(0) = -4$, $f'(2) = 0$, $f(0) = 8$ を満たす2次関数 $f(x)$ を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 極限値

* 1つ目の極限値：

$x$ に $1$ を代入するだけなので、

$$\lim_{x \to 1} (2x+1) = 2(1) + 1 = 3$$

* 2つ目の極限値：

$h$ に $0$ を代入すると分母が $0$ になるので、式を整理します。

$$\lim_{h \to 0} \frac{h^2 - 3h + 9}{h}$$

$h$ に $0$ を近づけると、$\frac{9}{0}$ に近づくため、極限は存在しません。(正しくは、正の無限大に発散します。)

(2) 微分

* 1つ目の微分：

$$y = x^2 - 2x + 2$$

$$y' = 2x - 2$$

* 2つ目の微分：

$$y = -\frac{4}{3}x^3 + \frac{2}{3}x^2 + \frac{1}{5}$$

$$y' = -4x^2 + \frac{4}{3}x$$

* 3つ目の微分：

$$y = (x+1)(2x^2 - x + 1) = 2x^3 + x^2 + 1$$

$$y' = 6x^2 + 2x$$

(3) 微分係数

$$f(x) = -2x^2 + 4x - 3$$

$$f'(x) = -4x + 4$$

$$f'(1) = -4(1) + 4 = 0$$

(4) 2次関数の決定

2次関数を $f(x) = ax^2 + bx + c$ とおくと、

$$f'(x) = 2ax + b$$

条件より、

* $f'(0) = -4$ なので、$b = -4$

* $f'(2) = 0$ なので、$2a(2) + b = 4a - 4 = 0$ よって、$a = 1$

* $f(0) = 8$ なので、$c = 8$

したがって、$f(x) = x^2 - 4x + 8$

3. 最終的な答え

(1)

* $\lim_{x \to 1} (2x+1) = 3$

* $\lim_{h \to 0} \frac{h^2 - 3h + 9}{h}$ は極限なし (正の無限大に発散)

(2)

* $y = x^2 - 2x + 2$ のとき、$y' = 2x - 2$

* $y = -\frac{4}{3}x^3 + \frac{2}{3}x^2 + \frac{1}{5}$ のとき、$y' = -4x^2 + \frac{4}{3}x$

* $y = (x+1)(2x^2 - x + 1)$ のとき、$y' = 6x^2 + 2x$

(3) $f'(1) = 0$

(4) $f(x) = x^2 - 4x + 8$