与えられた数列の極限値を求める問題です。具体的には、$\lim_{n\to\infty} (n - \sqrt{n^2 - 3})$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた数列の極限値を求める問題です。具体的には、$\lim_{n\to\infty} (n - \sqrt{n^2 - 3})$ を計算します。

2. 解き方の手順

この極限を求めるためには、まず、$n - \sqrt{n^2 - 3}$ を変形します。分子に $n + \sqrt{n^2 - 3}$ を掛けて分母にも同じものを掛けることで、有理化を行います。

$n - \sqrt{n^2 - 3} = \frac{(n - \sqrt{n^2 - 3})(n + \sqrt{n^2 - 3})}{n + \sqrt{n^2 - 3}}$

$= \frac{n^2 - (n^2 - 3)}{n + \sqrt{n^2 - 3}}$

$= \frac{3}{n + \sqrt{n^2 - 3}}$

次に、分母を $n$ で割ります。

$\frac{3}{n + \sqrt{n^2 - 3}} = \frac{3}{n + \sqrt{n^2(1 - \frac{3}{n^2})}} = \frac{3}{n + n\sqrt{1 - \frac{3}{n^2}}}$

$= \frac{3}{n(1 + \sqrt{1 - \frac{3}{n^2}})}$

したがって、極限は次のようになります。

$\lim_{n\to\infty} \frac{3}{n(1 + \sqrt{1 - \frac{3}{n^2}})}$

$n \to \infty$ のとき、$\frac{3}{n^2} \to 0$ なので、$\sqrt{1 - \frac{3}{n^2}} \to \sqrt{1 - 0} = 1$ となります。したがって、

$\lim_{n\to\infty} n(1 + \sqrt{1 - \frac{3}{n^2}}) = \infty$

したがって、

$\lim_{n\to\infty} \frac{3}{n(1 + \sqrt{1 - \frac{3}{n^2}})} = 0$

3. 最終的な答え

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