問題は三角関数に関するもので、以下の小問があります。 (1) $\sin \theta + \cos \theta = \frac{1}{3}$ のとき、$\sin \theta \cos \theta$ および $\sin^3 \theta + \cos^3 \theta$ の値を求める。 (2) $0 \le \theta < 2\pi$ のとき、$\sin \theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}$、$\tan \theta = -\frac{1}{\sqrt{3}}$、$\cos \theta < -\frac{1}{2}$ を満たす $\theta$ の範囲を求める。 (3) $0 \le \theta < 2\pi$ のとき、関数 $y = 2\cos^2 \theta - 2\cos \theta - 1$ の最大値、最小値とそのときの $\theta$ の値を求める。 (4) $\alpha$ の動径が第3象限、$\beta$ の動径が第1象限にあり、$\sin \alpha = -\frac{4}{5}, \cos \beta = \frac{3}{5}$ のとき、$\sin(\alpha - \beta)$ および $\cos(\alpha + \beta)$ の値を求める。 (5) 2直線 $y = -3x + 2, y = 2x + 1$ のなす角 $\theta$ を求める。ただし，$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ とする。

はい、承知いたしました。それでは、画像に写っている数学の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

問題は三角関数に関するもので、以下の小問があります。

(1) $\sin \theta + \cos \theta = \frac{1}{3}$ のとき、$\sin \theta \cos \theta$ および $\sin^3 \theta + \cos^3 \theta$ の値を求める。

(2) $0 \le \theta < 2\pi$ のとき、$\sin \theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}$、$\tan \theta = -\frac{1}{\sqrt{3}}$、$\cos \theta < -\frac{1}{2}$ を満たす $\theta$ の範囲を求める。

(3) $0 \le \theta < 2\pi$ のとき、関数 $y = 2\cos^2 \theta - 2\cos \theta - 1$ の最大値、最小値とそのときの $\theta$ の値を求める。

(4) $\alpha$ の動径が第3象限、$\beta$ の動径が第1象限にあり、$\sin \alpha = -\frac{4}{5}, \cos \beta = \frac{3}{5}$ のとき、$\sin(\alpha - \beta)$ および $\cos(\alpha + \beta)$ の値を求める。

(5) 2直線 $y = -3x + 2, y = 2x + 1$ のなす角 $\theta$ を求める。ただし，$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ とする。

2. 解き方の手順

(1)

① $\sin \theta + \cos \theta = \frac{1}{3}$ の両辺を2乗すると、

$\sin^2 \theta + 2 \sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta = \frac{1}{9}$

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ なので、

$1 + 2 \sin \theta \cos \theta = \frac{1}{9}$

$2 \sin \theta \cos \theta = -\frac{8}{9}$

$\sin \theta \cos \theta = -\frac{4}{9}$

② $\sin^3 \theta + \cos^3 \theta = (\sin \theta + \cos \theta)(\sin^2 \theta - \sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta)$

$= (\sin \theta + \cos \theta)(1 - \sin \theta \cos \theta)$

$= \frac{1}{3} (1 - (-\frac{4}{9})) = \frac{1}{3} \times \frac{13}{9} = \frac{13}{27}$

(2)

① $\sin \theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ を満たす $\theta$ は、$\theta = \frac{4}{3}\pi, \frac{5}{3}\pi$

② $\tan \theta = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ を満たす $\theta$ は、$\theta = \frac{5}{6}\pi, \frac{11}{6}\pi$

③ $\cos \theta < -\frac{1}{2}$ を満たす $\theta$ は、$\frac{2}{3}\pi < \theta < \frac{4}{3}\pi$

(3)

$y = 2\cos^2 \theta - 2\cos \theta - 1 = 2(\cos^2 \theta - \cos \theta) - 1$

$= 2[(\cos \theta - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4}] - 1 = 2(\cos \theta - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{2} - 1$

$y = 2(\cos \theta - \frac{1}{2})^2 - \frac{3}{2}$

$0 \le \theta < 2\pi$ より、 $-1 \le \cos \theta \le 1$

$\cos \theta = 1$ のとき、最大値 $2(1 - \frac{1}{2})^2 - \frac{3}{2} = 2(\frac{1}{4}) - \frac{3}{2} = \frac{1}{2} - \frac{3}{2} = -1$ $(\theta = 0, 2\pi)$

$\cos \theta = -1$ のとき $2(-1 - \frac{1}{2})^2 - \frac{3}{2} = 2(\frac{9}{4}) - \frac{3}{2} = \frac{9}{2} - \frac{3}{2} = 3$ $(\theta = \pi)$

$\cos \theta = \frac{1}{2}$ のとき、最小値 $-\frac{3}{2}$ $(\theta = \frac{\pi}{3},\frac{5\pi}{3})$

(4)

$\sin \alpha = -\frac{4}{5}$、$\alpha$ が第3象限にあるので、$\cos \alpha = -\sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = -\sqrt{1 - \frac{16}{25}} = -\sqrt{\frac{9}{25}} = -\frac{3}{5}$

$\cos \beta = \frac{3}{5}$、$\beta$ が第1象限にあるので、$\sin \beta = \sqrt{1 - \cos^2 \beta} = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$

① $\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta = (-\frac{4}{5})(\frac{3}{5}) - (-\frac{3}{5})(\frac{4}{5}) = -\frac{12}{25} + \frac{12}{25} = 0$

② $\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta = (-\frac{3}{5})(\frac{3}{5}) - (-\frac{4}{5})(\frac{4}{5}) = -\frac{9}{25} + \frac{16}{25} = \frac{7}{25}$

(5)

$y = -3x + 2$ の傾きは $-3$ なので、$\tan \theta_1 = -3$

$y = 2x + 1$ の傾きは $2$ なので、$\tan \theta_2 = 2$

2直線のなす角 $\theta$ について $\tan \theta = |\frac{\tan \theta_2 - \tan \theta_1}{1 + \tan \theta_1 \tan \theta_2}| = |\frac{2 - (-3)}{1 + (-3)(2)}| = |\frac{5}{1 - 6}| = |\frac{5}{-5}| = 1$

$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ より、$\theta = \frac{\pi}{4}$

3. 最終的な答え

(1)

① $\sin \theta \cos \theta = -\frac{4}{9}$

② $\sin^3 \theta + \cos^3 \theta = \frac{13}{27}$

(2)

① $\theta = \frac{4}{3}\pi, \frac{5}{3}\pi$

② $\theta = \frac{5}{6}\pi, \frac{11}{6}\pi$

③ $\frac{2}{3}\pi < \theta < \frac{4}{3}\pi$

(3)

最大値: $3$ ($\theta = \pi$)

最小値: $-\frac{3}{2}$ ($\theta = \frac{\pi}{3},\frac{5\pi}{3}$)

(4)

① $\sin(\alpha - \beta) = 0$

② $\cos(\alpha + \beta) = \frac{7}{25}$

(5)

$\theta = \frac{\pi}{4}$