定積分 $\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} (\cos \frac{x}{2} - 6\sin 3x) dx$ を計算してください。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} (\cos \frac{x}{2} - 6\sin 3x) dx$ を計算してください。

2. 解き方の手順

まず、積分を2つの部分に分けます。

$\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} \cos \frac{x}{2} dx - \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} 6\sin 3x dx$

次に、それぞれの積分を計算します。

$\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} \cos \frac{x}{2} dx = [2\sin \frac{x}{2}]_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} = 2\sin \frac{\pi}{4} - 2\sin \frac{\pi}{6} = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - 2 \cdot \frac{1}{2} = \sqrt{2} - 1$

$\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} 6\sin 3x dx = [-2\cos 3x]_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} = -2\cos \frac{3\pi}{2} - (-2\cos \pi) = -2 \cdot 0 + 2 \cdot (-1) = -2$

したがって、元の積分は次のようになります。

$\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} (\cos \frac{x}{2} - 6\sin 3x) dx = (\sqrt{2} - 1) - (-2) = \sqrt{2} - 1 + 2 = \sqrt{2} + 1$

3. 最終的な答え

$\sqrt{2} + 1$