与えられた関数 $y = x\sqrt{4-x^2}$ のグラフを描く。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = x\sqrt{4-x^2}$ のグラフを描く。

2. 解き方の手順

まず、定義域を考える。根号の中が非負である必要があるため、$4 - x^2 \ge 0$。これは $x^2 \le 4$ と同値であり、$-2 \le x \le 2$ となる。

次に、関数の偶奇性を調べる。$y(-x) = (-x)\sqrt{4 - (-x)^2} = -x\sqrt{4 - x^2} = -y(x)$ であるから、この関数は奇関数である。したがって、原点に関して対称なグラフとなる。

次に、導関数を計算する。

$y' = \sqrt{4-x^2} + x \cdot \frac{1}{2\sqrt{4-x^2}} \cdot (-2x) = \sqrt{4-x^2} - \frac{x^2}{\sqrt{4-x^2}} = \frac{4-x^2 - x^2}{\sqrt{4-x^2}} = \frac{4-2x^2}{\sqrt{4-x^2}}$

$y' = 0$ となる $x$ を求めると、$4-2x^2 = 0$ より $x^2 = 2$。よって、$x = \pm \sqrt{2}$ となる。

次に、増減表を作成する。

| x | -2 | ... | -√2 | ... | √2 | ... | 2 |

| ------ | ------- | -------- | -------- | -------- | -------- | -------- | ------- |

| y' | | - | 0 | + | 0 | - | |

| y | 0 | 減少 | -2 | 増加 | 2 | 減少 | 0 |

したがって、$x = -\sqrt{2}$ で極小値 $-2$ をとり、$x = \sqrt{2}$ で極大値 $2$ をとる。

3. 最終的な答え

$y = x\sqrt{4-x^2}$ のグラフは、定義域が $-2 \le x \le 2$ であり、原点に関して対称な奇関数である。$x = -\sqrt{2}$ で極小値 $-2$ をとり、$x = \sqrt{2}$ で極大値 $2$ をとる。$x=-2$と$x=2$で $y=0$となる。