$\int \frac{dx}{x(x^2-1)}$ を求めます。

## (1) $\int \frac{dx}{x(x^2-1)}$

1. 問題の内容

$\int \frac{dx}{x(x^2-1)}$ を求めます。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を部分分数分解します。

$\frac{1}{x(x^2-1)} = \frac{1}{x(x-1)(x+1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x-1} + \frac{C}{x+1}$

両辺に $x(x-1)(x+1)$ をかけると、

$1 = A(x-1)(x+1) + Bx(x+1) + Cx(x-1)$

$1 = A(x^2-1) + B(x^2+x) + C(x^2-x)$

$1 = (A+B+C)x^2 + (B-C)x - A$

係数を比較して、

$A+B+C = 0$

$B-C = 0$

$-A = 1$

よって $A=-1$, $B=C$

$-1 + B + C = 0$ より $2B=1$ なので $B=C=\frac{1}{2}$

したがって、

$\frac{1}{x(x^2-1)} = -\frac{1}{x} + \frac{1}{2(x-1)} + \frac{1}{2(x+1)}$

$\int \frac{dx}{x(x^2-1)} = \int \left(-\frac{1}{x} + \frac{1}{2(x-1)} + \frac{1}{2(x+1)}\right) dx$

$= -\int \frac{1}{x} dx + \frac{1}{2}\int \frac{1}{x-1} dx + \frac{1}{2}\int \frac{1}{x+1} dx$

$= -\ln|x| + \frac{1}{2}\ln|x-1| + \frac{1}{2}\ln|x+1| + C$

$= -\ln|x| + \frac{1}{2}\ln|x^2-1| + C$

$= \ln\left|\frac{\sqrt{x^2-1}}{x}\right| + C$

3. 最終的な答え

$\ln\left|\frac{\sqrt{x^2-1}}{x}\right| + C$

## (2) $\int \frac{dx}{x^2(x+2)}$

1. 問題の内容

$\int \frac{dx}{x^2(x+2)}$ を求めます。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を部分分数分解します。

$\frac{1}{x^2(x+2)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x^2} + \frac{C}{x+2}$

両辺に $x^2(x+2)$ をかけると、

$1 = Ax(x+2) + B(x+2) + Cx^2$

$1 = A(x^2+2x) + B(x+2) + Cx^2$

$1 = (A+C)x^2 + (2A+B)x + 2B$

係数を比較して、

$A+C = 0$

$2A+B = 0$

$2B = 1$

よって $B=\frac{1}{2}$, $A=-\frac{1}{4}$, $C=\frac{1}{4}$

したがって、

$\frac{1}{x^2(x+2)} = -\frac{1}{4x} + \frac{1}{2x^2} + \frac{1}{4(x+2)}$

$\int \frac{dx}{x^2(x+2)} = \int \left(-\frac{1}{4x} + \frac{1}{2x^2} + \frac{1}{4(x+2)}\right) dx$

$= -\frac{1}{4}\int \frac{1}{x} dx + \frac{1}{2}\int \frac{1}{x^2} dx + \frac{1}{4}\int \frac{1}{x+2} dx$

$= -\frac{1}{4}\ln|x| - \frac{1}{2x} + \frac{1}{4}\ln|x+2| + C$

$= \frac{1}{4}\ln\left|\frac{x+2}{x}\right| - \frac{1}{2x} + C$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{4}\ln\left|\frac{x+2}{x}\right| - \frac{1}{2x} + C$

## (3) $\int \frac{dx}{x(x^2+1)}$

1. 問題の内容

$\int \frac{dx}{x(x^2+1)}$ を求めます。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を部分分数分解します。

$\frac{1}{x(x^2+1)} = \frac{A}{x} + \frac{Bx+C}{x^2+1}$

両辺に $x(x^2+1)$ をかけると、

$1 = A(x^2+1) + (Bx+C)x$

$1 = A(x^2+1) + Bx^2+Cx$

$1 = (A+B)x^2 + Cx + A$

係数を比較して、

$A+B = 0$

$C = 0$

$A = 1$

よって $A=1$, $B=-1$, $C=0$

したがって、

$\frac{1}{x(x^2+1)} = \frac{1}{x} - \frac{x}{x^2+1}$

$\int \frac{dx}{x(x^2+1)} = \int \left(\frac{1}{x} - \frac{x}{x^2+1}\right) dx$

$= \int \frac{1}{x} dx - \int \frac{x}{x^2+1} dx$

$= \ln|x| - \frac{1}{2}\ln(x^2+1) + C$

$= \ln|x| - \ln\sqrt{x^2+1} + C$

$= \ln\left|\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\right| + C$

3. 最終的な答え

$\ln\left|\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\right| + C$

## (4) $\int \frac{x^2+1}{x^4-5x^2+4} dx$

1. 問題の内容

$\int \frac{x^2+1}{x^4-5x^2+4} dx$ を求めます。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を部分分数分解します。

$\frac{x^2+1}{x^4-5x^2+4} = \frac{x^2+1}{(x^2-1)(x^2-4)} = \frac{x^2+1}{(x-1)(x+1)(x-2)(x+2)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+1} + \frac{C}{x-2} + \frac{D}{x+2}$

両辺に $(x-1)(x+1)(x-2)(x+2)$ をかけると、

$x^2+1 = A(x+1)(x-2)(x+2) + B(x-1)(x-2)(x+2) + C(x-1)(x+1)(x+2) + D(x-1)(x+1)(x-2)$

$x^2+1 = A(x+1)(x^2-4) + B(x-1)(x^2-4) + C(x^2-1)(x+2) + D(x^2-1)(x-2)$

$x=1$ のとき: $1^2+1 = A(1+1)(1-4) \implies 2 = -6A \implies A = -\frac{1}{3}$

$x=-1$ のとき: $(-1)^2+1 = B(-1-1)(1-4) \implies 2 = 6B \implies B = \frac{1}{3}$

$x=2$ のとき: $2^2+1 = C(4-1)(2+2) \implies 5 = 12C \implies C = \frac{5}{12}$

$x=-2$ のとき: $(-2)^2+1 = D(4-1)(-2-2) \implies 5 = -12D \implies D = -\frac{5}{12}$

したがって、

$\frac{x^2+1}{x^4-5x^2+4} = -\frac{1}{3(x-1)} + \frac{1}{3(x+1)} + \frac{5}{12(x-2)} - \frac{5}{12(x+2)}$

$\int \frac{x^2+1}{x^4-5x^2+4} dx = \int \left(-\frac{1}{3(x-1)} + \frac{1}{3(x+1)} + \frac{5}{12(x-2)} - \frac{5}{12(x+2)}\right) dx$

$= -\frac{1}{3}\ln|x-1| + \frac{1}{3}\ln|x+1| + \frac{5}{12}\ln|x-2| - \frac{5}{12}\ln|x+2| + C$

$= \frac{1}{3}\ln\left|\frac{x+1}{x-1}\right| + \frac{5}{12}\ln\left|\frac{x-2}{x+2}\right| + C$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{3}\ln\left|\frac{x+1}{x-1}\right| + \frac{5}{12}\ln\left|\frac{x-2}{x+2}\right| + C$

## (5) $\int \frac{3x+2}{x(x+1)^3} dx$

1. 問題の内容

$\int \frac{3x+2}{x(x+1)^3} dx$ を求めます。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を部分分数分解します。

$\frac{3x+2}{x(x+1)^3} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x+1} + \frac{C}{(x+1)^2} + \frac{D}{(x+1)^3}$

両辺に $x(x+1)^3$ をかけると、

$3x+2 = A(x+1)^3 + Bx(x+1)^2 + Cx(x+1) + Dx$

$x=0$ のとき: $3(0)+2 = A(0+1)^3 \implies 2 = A \implies A = 2$

$x=-1$ のとき: $3(-1)+2 = D(-1) \implies -1 = -D \implies D = 1$

$3x+2 = 2(x^3+3x^2+3x+1) + Bx(x^2+2x+1) + Cx(x+1) + x$

$3x+2 = 2x^3+6x^2+6x+2 + B(x^3+2x^2+x) + C(x^2+x) + x$

$3x+2 = (2+B)x^3 + (6+2B+C)x^2 + (6+B+C+1)x + 2$

係数を比較して、

$2+B = 0 \implies B = -2$

$6+2B+C = 0 \implies 6-4+C = 0 \implies C = -2$

$6+B+C+1 = 3 \implies 7-2-2 = 3 \implies 3=3$ (確認)

したがって、

$\frac{3x+2}{x(x+1)^3} = \frac{2}{x} - \frac{2}{x+1} - \frac{2}{(x+1)^2} + \frac{1}{(x+1)^3}$

$\int \frac{3x+2}{x(x+1)^3} dx = \int \left(\frac{2}{x} - \frac{2}{x+1} - \frac{2}{(x+1)^2} + \frac{1}{(x+1)^3}\right) dx$

$= 2\int \frac{1}{x} dx - 2\int \frac{1}{x+1} dx - 2\int \frac{1}{(x+1)^2} dx + \int \frac{1}{(x+1)^3} dx$

$= 2\ln|x| - 2\ln|x+1| + \frac{2}{x+1} - \frac{1}{2(x+1)^2} + C$

$= 2\ln\left|\frac{x}{x+1}\right| + \frac{2}{x+1} - \frac{1}{2(x+1)^2} + C$

3. 最終的な答え

$2\ln\left|\frac{x}{x+1}\right| + \frac{2}{x+1} - \frac{1}{2(x+1)^2} + C$

## (6) $\int \frac{x^4}{x^3-3x+2} dx$

1. 問題の内容

$\int \frac{x^4}{x^3-3x+2} dx$ を求めます。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を割り算します。

$x^3-3x+2 = (x-1)^2(x+2)$ なので、割り算を実行します。

$x^4 \div (x^3-3x+2) = x + \frac{3x^2-2x}{x^3-3x+2}$

よって $\frac{x^4}{x^3-3x+2} = x + \frac{3x^2-2x}{(x-1)^2(x+2)}$

$\frac{3x^2-2x}{(x-1)^2(x+2)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{(x-1)^2} + \frac{C}{x+2}$

$3x^2-2x = A(x-1)(x+2) + B(x+2) + C(x-1)^2$

$x=1$ のとき: $3-2 = B(1+2) \implies 1 = 3B \implies B = \frac{1}{3}$

$x=-2$ のとき: $3(4)-2(-2) = C(-2-1)^2 \implies 12+4 = 9C \implies 16 = 9C \implies C = \frac{16}{9}$

$3x^2-2x = A(x^2+x-2) + \frac{1}{3}(x+2) + \frac{16}{9}(x^2-2x+1)$

$3x^2-2x = A(x^2+x-2) + \frac{1}{3}x + \frac{2}{3} + \frac{16}{9}x^2 - \frac{32}{9}x + \frac{16}{9}$

$3x^2-2x = (A+\frac{16}{9})x^2 + (A+\frac{1}{3}-\frac{32}{9})x + (-2A+\frac{2}{3}+\frac{16}{9})$

係数を比較して、

$A+\frac{16}{9} = 3 \implies A = 3-\frac{16}{9} = \frac{27-16}{9} = \frac{11}{9}$

$A+\frac{1}{3}-\frac{32}{9} = -2 \implies \frac{11}{9} + \frac{3}{9} - \frac{32}{9} = -\frac{18}{9} = -2$ (確認)

したがって、

$\frac{x^4}{x^3-3x+2} = x + \frac{11}{9(x-1)} + \frac{1}{3(x-1)^2} + \frac{16}{9(x+2)}$

$\int \frac{x^4}{x^3-3x+2} dx = \int \left(x + \frac{11}{9(x-1)} + \frac{1}{3(x-1)^2} + \frac{16}{9(x+2)}\right) dx$

$= \int x dx + \frac{11}{9}\int \frac{1}{x-1} dx + \frac{1}{3}\int \frac{1}{(x-1)^2} dx + \frac{16}{9}\int \frac{1}{x+2} dx$

$= \frac{1}{2}x^2 + \frac{11}{9}\ln|x-1| - \frac{1}{3(x-1)} + \frac{16}{9}\ln|x+2| + C$

$= \frac{1}{2}x^2 + \frac{11}{9}\ln|x-1| + \frac{16}{9}\ln|x+2| - \frac{1}{3(x-1)} + C$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2}x^2 + \frac{11}{9}\ln|x-1| + \frac{16}{9}\ln|x+2| - \frac{1}{3(x-1)} + C$