与えられた関数について、グラフを描く問題です。今回は、問題番号(4)の関数 $y = \cos 2x + 2\cos x$ ($0 \le x \le 2\pi$)についてグラフを描きます。

1. 問題の内容

与えられた関数について、グラフを描く問題です。今回は、問題番号(4)の関数 $y = \cos 2x + 2\cos x$ ($0 \le x \le 2\pi$)についてグラフを描きます。

2. 解き方の手順

まず、$y = \cos 2x + 2\cos x$ を変形します。

$\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$ を用いると、

$y = 2\cos^2 x - 1 + 2\cos x$

$y = 2\cos^2 x + 2\cos x - 1$

次に、微分して増減を調べます。

$y' = -4\cos x \sin x - 2\sin x = -2\sin x(2\cos x + 1)$

$y' = 0$ となるのは、$\sin x = 0$ または $\cos x = -\frac{1}{2}$ のときです。

$0 \le x \le 2\pi$ の範囲で、

$\sin x = 0$ となるのは $x = 0, \pi, 2\pi$

$\cos x = -\frac{1}{2}$ となるのは $x = \frac{2}{3}\pi, \frac{4}{3}\pi$

増減表を作成します。

| x | 0 | | 2π/3 | | π | | 4π/3 | | 2π |

|-------------|-------|--------|-------|--------|-------|--------|-------|--------|-------|

| sin x | 0 | + | + | + | 0 | - | - | - | 0 |

| 2cos x + 1 | 3 | + | 0 | - | -1 | - | 0 | + | 3 |

| y' | 0 | - | 0 | + | 0 | - | 0 | + | 0 |

| y | 1 | \ | -3/2 | / | -3 | \ | -3/2 | / | 1 |

増減表より、$x = \frac{2}{3}\pi, \frac{4}{3}\pi$ で極小値 $-\frac{3}{2}$ をとり、$x = \pi$ で極大値 $-3$ をとります。$x=0$と$x=2\pi$で$y=1$です。

これらの情報をもとにグラフを描きます。

3. 最終的な答え

グラフは省略します。極値、端点の値を参考にグラフを描いてください。