次の関数 $f(x, y)$ の、与えられた条件下での最大値と最小値を求める。 (1) $f(x,y) = x^2 + 2y^2$、 条件: $x^2 + y^2 = 1$ (2) $f(x,y) = x^2 - xy + y^2$、 条件: $x^2 + y^2 = 2$

## 数学の問題の解答

1. 問題の内容

次の関数 $f(x, y)$ の、与えられた条件下での最大値と最小値を求める。

(1) $f(x,y) = x^2 + 2y^2$、 条件: $x^2 + y^2 = 1$

(2) $f(x,y) = x^2 - xy + y^2$、 条件: $x^2 + y^2 = 2$

2. 解き方の手順

ラグランジュの未定乗数法を用いて解く。

(1) $f(x,y) = x^2 + 2y^2$、 条件: $g(x,y) = x^2 + y^2 - 1 = 0$

ラグランジュ関数を $L(x, y, \lambda) = f(x,y) - \lambda g(x,y) = x^2 + 2y^2 - \lambda (x^2 + y^2 - 1)$ と定義する。

各変数で偏微分して0とおく。

$\frac{\partial L}{\partial x} = 2x - 2\lambda x = 0 \Rightarrow x(1-\lambda) = 0$

$\frac{\partial L}{\partial y} = 4y - 2\lambda y = 0 \Rightarrow y(2-\lambda) = 0$

$\frac{\partial L}{\partial \lambda} = -(x^2 + y^2 - 1) = 0 \Rightarrow x^2 + y^2 = 1$

i) $x=0$ のとき、$y^2 = 1$ より $y = \pm 1$。このとき、$f(0, \pm 1) = 2$

ii) $x \ne 0$ のとき、$\lambda = 1$。$y(2-\lambda) = 0$ より $y = 0$。$x^2 = 1$ より $x = \pm 1$。このとき、$f(\pm 1, 0) = 1$

よって、最大値は2、最小値は1。

(2) $f(x,y) = x^2 - xy + y^2$、 条件: $g(x,y) = x^2 + y^2 - 2 = 0$

ラグランジュ関数を $L(x, y, \lambda) = f(x,y) - \lambda g(x,y) = x^2 - xy + y^2 - \lambda (x^2 + y^2 - 2)$ と定義する。

各変数で偏微分して0とおく。

$\frac{\partial L}{\partial x} = 2x - y - 2\lambda x = 0 \Rightarrow (2-2\lambda)x - y = 0$

$\frac{\partial L}{\partial y} = -x + 2y - 2\lambda y = 0 \Rightarrow -x + (2-2\lambda)y = 0$

$\frac{\partial L}{\partial \lambda} = -(x^2 + y^2 - 2) = 0 \Rightarrow x^2 + y^2 = 2$

$(2-2\lambda)x = y$を$-x + (2-2\lambda)y = 0$に代入すると、

$-x + (2-2\lambda)(2-2\lambda)x = 0 \Rightarrow (-1 + (2-2\lambda)^2)x = 0$

i) $x = 0$ のとき、$y^2 = 2$ より $y = \pm \sqrt{2}$。このとき、$f(0, \pm \sqrt{2}) = 2$

ii) $x \ne 0$ のとき、$-1 + (2-2\lambda)^2 = 0 \Rightarrow (2-2\lambda)^2 = 1 \Rightarrow 2-2\lambda = \pm 1$

$2-2\lambda = 1$ のとき、$\lambda = \frac{1}{2}$。$y = x$。$x^2 + x^2 = 2 \Rightarrow x^2 = 1$ より $x = \pm 1$。このとき、$y = \pm 1$。$f(\pm 1, \pm 1) = 1 - 1 + 1 = 1$

$2-2\lambda = -1$ のとき、$\lambda = \frac{3}{2}$。$y = -x$。$x^2 + (-x)^2 = 2 \Rightarrow x^2 = 1$ より $x = \pm 1$。このとき、$y = \mp 1$。$f(\pm 1, \mp 1) = 1 + 1 + 1 = 3$

よって、最大値は3、最小値は1。

3. 最終的な答え

(1) 最大値: 2, 最小値: 1

(2) 最大値: 3, 最小値: 1