$\int \frac{dx}{(x^2 + 1)^2}$ を求める問題です。ただし、漸化式を利用して解く必要があります。

1. 問題の内容

$\int \frac{dx}{(x^2 + 1)^2}$ を求める問題です。ただし、漸化式を利用して解く必要があります。

2. 解き方の手順

まず、$I_n = \int \frac{dx}{(x^2 + 1)^n}$ と定義します。

部分積分を使って、$I_n$ の漸化式を導出します。

$I_n = \int \frac{dx}{(x^2 + 1)^n} = \int \frac{1}{(x^2 + 1)^n} dx = \int \frac{x^2 + 1}{(x^2 + 1)^{n+1}} dx = \int \frac{x^2}{(x^2+1)^{n+1}} dx + \int \frac{1}{(x^2+1)^{n+1}} dx$

$= \int \frac{x^2}{(x^2+1)^{n+1}} dx + I_{n+1}$

$\int \frac{x^2}{(x^2+1)^{n+1}} dx = \int x \frac{x}{(x^2+1)^{n+1}} dx$

ここで、$u = x$, $dv = \frac{x}{(x^2+1)^{n+1}} dx$ とおくと、$du = dx$, $v = \int \frac{x}{(x^2+1)^{n+1}} dx = -\frac{1}{2n(x^2+1)^n}$ となる。

したがって、部分積分より

$\int \frac{x^2}{(x^2+1)^{n+1}} dx = -\frac{x}{2n(x^2+1)^n} + \int \frac{1}{2n(x^2+1)^n} dx = -\frac{x}{2n(x^2+1)^n} + \frac{1}{2n} I_n$

よって、$I_n = -\frac{x}{2n(x^2+1)^n} + \frac{1}{2n} I_n + I_{n+1}$ となる。

$I_{n+1} = I_n - \frac{1}{2n} I_n + \frac{x}{2n(x^2+1)^n} = \frac{2n-1}{2n} I_n + \frac{x}{2n(x^2+1)^n}$

$I_{n+1} = \frac{2n-1}{2n} I_n + \frac{x}{2n(x^2+1)^n}$

この漸化式を用いて、$I_2$ を求めます。

$I_1 = \int \frac{dx}{x^2+1} = \arctan x + C$

$n=1$ のとき、$I_2 = \frac{2(1)-1}{2(1)} I_1 + \frac{x}{2(1)(x^2+1)^1} = \frac{1}{2} I_1 + \frac{x}{2(x^2+1)} = \frac{1}{2} \arctan x + \frac{x}{2(x^2+1)} + C$

3. 最終的な答え

$\int \frac{dx}{(x^2 + 1)^2} = \frac{1}{2} \arctan x + \frac{x}{2(x^2+1)} + C$