問題1と問題2にある不定積分を計算する問題です。具体的には、以下の積分を計算します。 問題1: a) $\int \frac{x^3}{x^2-1} dx$ b) $\int \frac{1}{x(x+1)^2} dx$ c) $\int \frac{x}{(x+1)(x-2)} dx$ 問題2: a) $\int \frac{\cos x}{1+\sin x} dx$ b) $\int \frac{1}{1+\cos x} dx$ c) $\int \frac{1}{\cos x + \sin x} dx$

1. 問題の内容

問題1と問題2にある不定積分を計算する問題です。具体的には、以下の積分を計算します。

問題1:

a) $\int \frac{x^3}{x^2-1} dx$

b) $\int \frac{1}{x(x+1)^2} dx$

c) $\int \frac{x}{(x+1)(x-2)} dx$

問題2:

a) $\int \frac{\cos x}{1+\sin x} dx$

b) $\int \frac{1}{1+\cos x} dx$

c) $\int \frac{1}{\cos x + \sin x} dx$

2. 解き方の手順

問題1 a)

$\frac{x^3}{x^2-1}$ を変形します。

$\frac{x^3}{x^2-1} = \frac{x(x^2-1) + x}{x^2-1} = x + \frac{x}{x^2-1}$

さらに $\frac{x}{x^2-1}$ を部分分数分解します。

$\frac{x}{x^2-1} = \frac{x}{(x-1)(x+1)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+1}$

$x = A(x+1) + B(x-1)$

$x=1$ のとき $1 = 2A$ より $A = \frac{1}{2}$

$x=-1$ のとき $-1 = -2B$ より $B = \frac{1}{2}$

よって

$\frac{x^3}{x^2-1} = x + \frac{1}{2(x-1)} + \frac{1}{2(x+1)}$

積分すると

$\int \frac{x^3}{x^2-1} dx = \int (x + \frac{1}{2(x-1)} + \frac{1}{2(x+1)}) dx = \frac{x^2}{2} + \frac{1}{2} \ln|x-1| + \frac{1}{2} \ln|x+1| + C = \frac{x^2}{2} + \frac{1}{2} \ln|x^2-1| + C$

問題1 b)

$\frac{1}{x(x+1)^2}$ を部分分数分解します。

$\frac{1}{x(x+1)^2} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x+1} + \frac{C}{(x+1)^2}$

$1 = A(x+1)^2 + Bx(x+1) + Cx$

$x=0$ のとき $1 = A$

$x=-1$ のとき $1 = -C$ より $C = -1$

$1 = (x+1)^2 + Bx(x+1) - x = x^2+2x+1 + Bx^2 + Bx - x = (1+B)x^2 + (1+B)x + 1$

よって $1+B = 0$ より $B=-1$

$\frac{1}{x(x+1)^2} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x+1} - \frac{1}{(x+1)^2}$

積分すると

$\int \frac{1}{x(x+1)^2} dx = \int (\frac{1}{x} - \frac{1}{x+1} - \frac{1}{(x+1)^2}) dx = \ln|x| - \ln|x+1| + \frac{1}{x+1} + C = \ln|\frac{x}{x+1}| + \frac{1}{x+1} + C$

問題1 c)

$\frac{x}{(x+1)(x-2)}$ を部分分数分解します。

$\frac{x}{(x+1)(x-2)} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{x-2}$

$x = A(x-2) + B(x+1)$

$x=-1$ のとき $-1 = -3A$ より $A = \frac{1}{3}$

$x=2$ のとき $2 = 3B$ より $B = \frac{2}{3}$

$\frac{x}{(x+1)(x-2)} = \frac{1}{3(x+1)} + \frac{2}{3(x-2)}$

積分すると

$\int \frac{x}{(x+1)(x-2)} dx = \int (\frac{1}{3(x+1)} + \frac{2}{3(x-2)}) dx = \frac{1}{3} \ln|x+1| + \frac{2}{3} \ln|x-2| + C = \frac{1}{3} (\ln|x+1| + 2\ln|x-2|) + C = \frac{1}{3} \ln|(x+1)(x-2)^2| + C$

問題2 a)

$\int \frac{\cos x}{1+\sin x} dx$

$u = 1+\sin x$ とおくと $du = \cos x dx$

$\int \frac{\cos x}{1+\sin x} dx = \int \frac{1}{u} du = \ln|u| + C = \ln|1+\sin x| + C$

問題2 b)

$\int \frac{1}{1+\cos x} dx = \int \frac{1}{1+\cos x} \cdot \frac{1-\cos x}{1-\cos x} dx = \int \frac{1-\cos x}{1-\cos^2 x} dx = \int \frac{1-\cos x}{\sin^2 x} dx = \int (\frac{1}{\sin^2 x} - \frac{\cos x}{\sin^2 x}) dx = \int (\csc^2 x - \cot x \csc x) dx = -\cot x + \csc x + C = \frac{1-\cos x}{\sin x} + C = \frac{2\sin^2(x/2)}{2\sin(x/2)\cos(x/2)} + C = \tan(x/2) + C$

問題2 c)

$\int \frac{1}{\cos x + \sin x} dx = \int \frac{1}{\sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}\cos x + \frac{1}{\sqrt{2}}\sin x)} dx = \frac{1}{\sqrt{2}} \int \frac{1}{\cos(x - \frac{\pi}{4})} dx = \frac{1}{\sqrt{2}} \int \sec(x - \frac{\pi}{4}) dx = \frac{1}{\sqrt{2}} \ln|\sec(x - \frac{\pi}{4}) + \tan(x - \frac{\pi}{4})| + C$

3. 最終的な答え

問題1:

a) $\frac{x^2}{2} + \frac{1}{2} \ln|x^2-1| + C$

b) $\ln|\frac{x}{x+1}| + \frac{1}{x+1} + C$

c) $\frac{1}{3} \ln|(x+1)(x-2)^2| + C$

問題2:

a) $\ln|1+\sin x| + C$

b) $\tan(x/2) + C$

c) $\frac{1}{\sqrt{2}} \ln|\sec(x - \frac{\pi}{4}) + \tan(x - \frac{\pi}{4})| + C$