与えられた定積分を計算します。 $$\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} (\csc x + \tan x) \cos x \, dx$$

1. 問題の内容

与えられた定積分を計算します。

$$\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} (\csc x + \tan x) \cos x \, dx$$

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を展開します。

$$(\csc x + \tan x) \cos x = \csc x \cos x + \tan x \cos x$$

$\csc x = \frac{1}{\sin x}$、$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ なので、

$$\csc x \cos x + \tan x \cos x = \frac{\cos x}{\sin x} + \frac{\sin x}{\cos x} \cos x = \frac{\cos x}{\sin x} + \sin x = \cot x + \sin x$$

したがって、

$$\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} (\csc x + \tan x) \cos x \, dx = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} (\cot x + \sin x) \, dx$$

$\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$なので、$\int \cot x \, dx = \int \frac{\cos x}{\sin x} \, dx = \log |\sin x| + C$

また、$\int \sin x \, dx = -\cos x + C$ です。

したがって、

$$\int (\cot x + \sin x) \, dx = \log |\sin x| - \cos x + C$$

定積分を計算します。

$$\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} (\cot x + \sin x) \, dx = \left[ \log |\sin x| - \cos x \right]_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}$$

$$= \left( \log \left| \sin \frac{\pi}{3} \right| - \cos \frac{\pi}{3} \right) - \left( \log \left| \sin \frac{\pi}{6} \right| - \cos \frac{\pi}{6} \right)$$

$\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$, $\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$, $\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ なので、

$$= \left( \log \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2} \right) - \left( \log \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$$

$$= \log \frac{\sqrt{3}}{2} - \log \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \log \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 2 \right) - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \log \sqrt{3} - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}$$

$$= \frac{1}{2} \log 3 - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2} (\log 3 - 1 + \sqrt{3})$$

3. 最終的な答え

$$\frac{1}{2} (\log 3 - 1 + \sqrt{3})$$