関数 $y = \cos 2x + 2\cos x$ ($0 \le x \le 2\pi$) のグラフを描く問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = \cos 2x + 2\cos x$ ($0 \le x \le 2\pi$) のグラフを描く問題です。

2. 解き方の手順

(1) まず、関数 $y$ を $\cos x$ を用いて表します。2倍角の公式 $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$ を用いると、

$y = 2\cos^2 x - 1 + 2\cos x$

$y = 2\cos^2 x + 2\cos x - 1$

(2) $t = \cos x$ とおくと、$-1 \le t \le 1$ であり、$y$ は $t$ の2次関数として表されます。

$y = 2t^2 + 2t - 1$

(3) この2次関数を平方完成します。

$y = 2(t^2 + t) - 1$

$y = 2(t^2 + t + \frac{1}{4} - \frac{1}{4}) - 1$

$y = 2(t + \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{2} - 1$

$y = 2(t + \frac{1}{2})^2 - \frac{3}{2}$

(4) グラフの概形を考えます。

$t = \cos x$ の範囲は $-1 \le t \le 1$ なので、この範囲で $y = 2(t + \frac{1}{2})^2 - \frac{3}{2}$ のグラフを描きます。

頂点は $(-\frac{1}{2}, -\frac{3}{2})$ で、軸は $t = -\frac{1}{2}$ です。

$t = -1$ のとき、 $y = 2(-\frac{1}{2})^2 - \frac{3}{2} = \frac{1}{2} - \frac{3}{2} = -1$

$t = 1$ のとき、 $y = 2(\frac{3}{2})^2 - \frac{3}{2} = \frac{9}{2} - \frac{3}{2} = 3$

(5) $x$ と $y$ の対応を考えます。

$t = \cos x$ であるので、

$t = -1$ のとき、$\cos x = -1$ より $x = \pi$ で、$y = -1$

$t = -\frac{1}{2}$ のとき、$\cos x = -\frac{1}{2}$ より $x = \frac{2}{3}\pi, \frac{4}{3}\pi$ で、$y = -\frac{3}{2}$

$t = 1$ のとき、$\cos x = 1$ より $x = 0, 2\pi$ で、$y = 3$

(6) $y$の増減表を作ります。

$0 \le x \le 2\pi$ において、$y = \cos 2x + 2\cos x$ の増減を調べるために、$y'$ を計算します。

$y' = -2\sin 2x - 2\sin x$

$y' = -4\sin x \cos x - 2\sin x$

$y' = -2\sin x (2\cos x + 1)$

$y' = 0$ となるのは、$\sin x = 0$ または $\cos x = -\frac{1}{2}$ のときです。

$\sin x = 0$ より $x = 0, \pi, 2\pi$

$\cos x = -\frac{1}{2}$ より $x = \frac{2}{3}\pi, \frac{4}{3}\pi$

増減表は以下のようになります。

| x | 0 | ... | 2/3π | ... | π | ... | 4/3π | ... | 2π |

|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|

| y' | 0 | - | 0 | + | 0 | - | 0 | + | 0 |

| y | 3 | ↓ | -3/2 | ↑ | -1 | ↓ | -3/2 | ↑ | 3 |

(7) 増減表と主要な点の情報を元にグラフを描きます。

$x = 0$ で $y = 3$ (極大値)

$x = \frac{2}{3}\pi$ で $y = -\frac{3}{2}$ (極小値)

$x = \pi$ で $y = -1$ (極大値)

$x = \frac{4}{3}\pi$ で $y = -\frac{3}{2}$ (極小値)

$x = 2\pi$ で $y = 3$ (極大値)

3. 最終的な答え

グラフの概形は、x軸とy軸を描き、上記の増減表と主要な点の情報をもとに、滑らかな曲線でグラフを描きます。極大値、極小値の位置、x切片(もしあれば)などを正確にプロットすることが重要です。

（グラフを描くには環境が必要なため、ここではグラフの具体的な図は示せません）