与えられた関数 $f(x)$ の、指定された区間における最大値と最小値を求め、そのときの $x$ の値を求める問題です。関数は3つあり、それぞれ定義域が定められています。 (1) $f(x) = x^3 - 2x^2 - 4x - 1$, $-3 \le x \le 3$ (2) $f(x) = (\sin x - 1)\cos x$, $-\pi \le x \le \pi$ (3) $f(x) = x^2 \sqrt{1-x^2}$, $-1 \le x \le 1$

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x)$ の、指定された区間における最大値と最小値を求め、そのときの $x$ の値を求める問題です。関数は3つあり、それぞれ定義域が定められています。

(1) $f(x) = x^3 - 2x^2 - 4x - 1$, $-3 \le x \le 3$

(2) $f(x) = (\sin x - 1)\cos x$, $-\pi \le x \le \pi$

(3) $f(x) = x^2 \sqrt{1-x^2}$, $-1 \le x \le 1$

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = x^3 - 2x^2 - 4x - 1$, $-3 \le x \le 3$

* 導関数を求める: $f'(x) = 3x^2 - 4x - 4$

* $f'(x) = 0$ となる $x$ を求める: $3x^2 - 4x - 4 = 0 \implies (3x + 2)(x - 2) = 0 \implies x = -\frac{2}{3}, 2$

* 区間の端点と極値における $f(x)$ の値を計算する: $x = -3, -\frac{2}{3}, 2, 3$

* $f(-3) = -27 - 18 + 12 - 1 = -34$

* $f(-\frac{2}{3}) = -\frac{8}{27} - \frac{8}{9} + \frac{8}{3} - 1 = \frac{-8 - 24 + 72 - 27}{27} = \frac{13}{27}$

* $f(2) = 8 - 8 - 8 - 1 = -9$

* $f(3) = 27 - 18 - 12 - 1 = -4$

* 最大値と最小値を決定する:

* 最大値: $\frac{13}{27}$ ($x = -\frac{2}{3}$)

* 最小値: $-34$ ($x = -3$)

(2) $f(x) = (\sin x - 1)\cos x$, $-\pi \le x \le \pi$

* 導関数を求める: $f'(x) = \cos^2 x - (\sin x - 1)\sin x = \cos^2 x - \sin^2 x + \sin x = 1 - 2\sin^2 x + \sin x$

* $f'(x) = 0$ となる $x$ を求める: $1 - 2\sin^2 x + \sin x = 0 \implies 2\sin^2 x - \sin x - 1 = 0 \implies (2\sin x + 1)(\sin x - 1) = 0 \implies \sin x = -\frac{1}{2}, 1$

* $\sin x = -\frac{1}{2} \implies x = -\frac{5\pi}{6}, -\frac{\pi}{6}$

* $\sin x = 1 \implies x = \frac{\pi}{2}$

* 区間の端点と極値における $f(x)$ の値を計算する: $x = -\pi, -\frac{5\pi}{6}, -\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}, \pi$

* $f(-\pi) = (0-1)(-1) = 1$

* $f(-\frac{5\pi}{6}) = (-\frac{1}{2} - 1)(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = (-\frac{3}{2})(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{3\sqrt{3}}{4}$

* $f(-\frac{\pi}{6}) = (-\frac{1}{2} - 1)(\frac{\sqrt{3}}{2}) = (-\frac{3}{2})(\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{3\sqrt{3}}{4}$

* $f(\frac{\pi}{2}) = (1 - 1)(0) = 0$

* $f(\pi) = (0-1)(-1) = 1$

* 最大値と最小値を決定する:

* 最大値: $\frac{3\sqrt{3}}{4}$ ($x = -\frac{5\pi}{6}$)

* 最小値: $-\frac{3\sqrt{3}}{4}$ ($x = -\frac{\pi}{6}$)

(3) $f(x) = x^2 \sqrt{1-x^2}$, $-1 \le x \le 1$

* 導関数を求める: $f'(x) = 2x\sqrt{1-x^2} + x^2 \cdot \frac{-2x}{2\sqrt{1-x^2}} = 2x\sqrt{1-x^2} - \frac{x^3}{\sqrt{1-x^2}} = \frac{2x(1-x^2) - x^3}{\sqrt{1-x^2}} = \frac{2x - 3x^3}{\sqrt{1-x^2}} = \frac{x(2 - 3x^2)}{\sqrt{1-x^2}}$

* $f'(x) = 0$ となる $x$ を求める: $x(2 - 3x^2) = 0 \implies x = 0, \pm\sqrt{\frac{2}{3}}$

* 区間の端点と極値における $f(x)$ の値を計算する: $x = -1, -\sqrt{\frac{2}{3}}, 0, \sqrt{\frac{2}{3}}, 1$

* $f(-1) = 1 \cdot \sqrt{1-1} = 0$

* $f(-\sqrt{\frac{2}{3}}) = \frac{2}{3} \cdot \sqrt{1 - \frac{2}{3}} = \frac{2}{3} \cdot \sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{2}{3\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{9}$

* $f(0) = 0 \cdot \sqrt{1-0} = 0$

* $f(\sqrt{\frac{2}{3}}) = \frac{2}{3} \cdot \sqrt{1 - \frac{2}{3}} = \frac{2}{3} \cdot \sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{2}{3\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{9}$

* $f(1) = 1 \cdot \sqrt{1-1} = 0$

* 最大値と最小値を決定する:

* 最大値: $\frac{2\sqrt{3}}{9}$ ($x = \pm\sqrt{\frac{2}{3}}$)

* 最小値: $0$ ($x = -1, 0, 1$)

3. 最終的な答え

(1) 最大値: $\frac{13}{27}$ ($x = -\frac{2}{3}$), 最小値: $-34$ ($x = -3$)

(2) 最大値: $\frac{3\sqrt{3}}{4}$ ($x = -\frac{5\pi}{6}$), 最小値: $-\frac{3\sqrt{3}}{4}$ ($x = -\frac{\pi}{6}$)

(3) 最大値: $\frac{2\sqrt{3}}{9}$ ($x = \pm\sqrt{\frac{2}{3}}$), 最小値: $0$ ($x = -1, 0, 1$)