定積分 $\int_{-2}^{1} |x^2 - x| dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{-2}^{1} |x^2 - x| dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、$|x^2 - x|$ の絶対値を外します。

$x^2 - x = x(x - 1)$ であるため、$x^2 - x = 0$ となるのは、$x = 0$ または $x = 1$ のときです。

また、$0 < x < 1$ のとき、$x^2 - x < 0$ であり、$x < 0$ または $x > 1$ のとき、$x^2 - x > 0$ です。

したがって、

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|x^2 - x| = \begin{cases}

x^2 - x & (x \le 0, x \ge 1) \\

-(x^2 - x) & (0 < x < 1)

\end{cases}

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積分区間を $-2 \le x \le 1$ であるから、

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\int_{-2}^{1} |x^2 - x| dx = \int_{-2}^{0} (x^2 - x) dx + \int_{0}^{1} (-x^2 + x) dx

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それぞれの積分を計算します。

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\int_{-2}^{0} (x^2 - x) dx = \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} \right]_{-2}^{0} = 0 - \left( \frac{(-2)^3}{3} - \frac{(-2)^2}{2} \right) = 0 - \left( -\frac{8}{3} - \frac{4}{2} \right) = \frac{8}{3} + 2 = \frac{8}{3} + \frac{6}{3} = \frac{14}{3}

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\int_{0}^{1} (-x^2 + x) dx = \left[ -\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{1} = \left( -\frac{1^3}{3} + \frac{1^2}{2} \right) - 0 = -\frac{1}{3} + \frac{1}{2} = -\frac{2}{6} + \frac{3}{6} = \frac{1}{6}

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したがって、

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\int_{-2}^{1} |x^2 - x| dx = \frac{14}{3} + \frac{1}{6} = \frac{28}{6} + \frac{1}{6} = \frac{29}{6}

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3. 最終的な答え

$\frac{29}{6}$