与えられた積分 $I_n = \int \frac{dt}{(a^2t^2 - b^2)^n}$ と、$J_n = \int \frac{dt}{(b^2 - a^2t^2)^n}$ に関する問題です。$I_1$ の具体的な値と、$I_{n+1}$ を $I_n$ で表す漸化式が与えられています。また、$J_n$ の部分積分による変形が示されています。

1. 問題の内容

与えられた積分 $I_n = \int \frac{dt}{(a^2t^2 - b^2)^n}$ と、$J_n = \int \frac{dt}{(b^2 - a^2t^2)^n}$ に関する問題です。$I_1$ の具体的な値と、$I_{n+1}$ を $I_n$ で表す漸化式が与えられています。また、$J_n$ の部分積分による変形が示されています。

2. 解き方の手順

与えられた情報から $I_1$ および $I_{n+1}$ の式を確認し、部分積分の結果の導出過程を理解します。

* $I_1$ は $\frac{1}{2ab} \log\left|\frac{at - b}{at + b}\right|$ で与えられています。これは初期条件として利用できます。

* $I_{n+1}$ は $\frac{1}{2nb^2} \left[ \frac{-t}{(a^2t^2 - b^2)^n} + \frac{1 - 2n}{2nb^2} I_n \right]$ で与えられています。この漸化式を用いることで、$I_2$, $I_3$ などを計算できます。

* $J_n$ については、与えられた式を部分積分により示すことが期待されます。つまり、

$J_n = \int \frac{dt}{(b^2 - a^2t^2)^n} = \frac{t}{(b^2 - a^2t^2)^n} - \int t \cdot \frac{-n a^2 (-2t)}{(b^2 - a^2t^2)^{n+1}} dt$

$= \frac{t}{(b^2 - a^2t^2)^n} - \int \frac{2na^2t^2}{(b^2 - a^2t^2)^{n+1}} dt$

$= \frac{t}{(b^2 - a^2t^2)^n} - \int \frac{2n a^2 t^2 - 2n b^2 + 2n b^2}{(b^2 - a^2t^2)^{n+1}} dt$

$= \frac{t}{(b^2 - a^2t^2)^n} - 2n \int \frac{- (b^2 - a^2t^2) + b^2}{(b^2 - a^2t^2)^{n+1}} dt$

$= \frac{t}{(b^2 - a^2t^2)^n} + 2n \int \frac{1}{(b^2 - a^2t^2)^n} dt - 2n b^2 \int \frac{1}{(b^2 - a^2t^2)^{n+1}} dt$

$= \frac{t}{(b^2 - a^2t^2)^n} + 2n J_n - 2n b^2 J_{n+1}$

従って、

$2n b^2 J_{n+1} = \frac{t}{(b^2 - a^2t^2)^n} + (2n - 1) J_n$

$J_{n+1} = \frac{t}{2nb^2(b^2 - a^2t^2)^n} + \frac{2n - 1}{2nb^2} J_n$

3. 最終的な答え

* $I_1 = \frac{1}{2ab} \log\left|\frac{at - b}{at + b}\right|$

* $I_{n+1} = \frac{1}{2nb^2} \left[ \frac{-t}{(a^2t^2 - b^2)^n} + \frac{1 - 2n}{2nb^2} I_n \right]$

* $J_{n+1} = \frac{t}{2nb^2(b^2 - a^2t^2)^n} + \frac{2n - 1}{2nb^2} J_n$