$I_n = \int \frac{dx}{(ax^2 - b^2)^n}$ という積分が与えられています。特に、$I_1 = \frac{1}{2ab} \log |\frac{ax-b}{ax+b}|$ であることがわかっています。$I_{n+1}$を求める問題です。

1. 問題の内容

$I_n = \int \frac{dx}{(ax^2 - b^2)^n}$ という積分が与えられています。特に、$I_1 = \frac{1}{2ab} \log |\frac{ax-b}{ax+b}|$ であることがわかっています。$I_{n+1}$を求める問題です。

2. 解き方の手順

部分積分を使って$I_{n+1}$を求めます。

$I_{n+1} = \int \frac{dx}{(ax^2 - b^2)^{n+1}}$ を以下のように変形します。

$I_{n+1} = \int \frac{1}{(ax^2 - b^2)^{n+1}} dx = \int \frac{1}{(ax^2 - b^2)} \cdot \frac{1}{(ax^2 - b^2)^n} dx$

ここで、$u = \frac{1}{(ax^2 - b^2)^n}$、$dv = \frac{1}{ax^2 - b^2}dx$ とおいて部分積分を行います。

まず、$dv = \frac{1}{ax^2 - b^2} dx$ から $v$ を求めます。これは問題文で与えられた$I_1$そのものです。つまり、

$v = \int \frac{1}{ax^2 - b^2} dx = \frac{1}{2ab} \log |\frac{ax-b}{ax+b}|$

次に、$u = \frac{1}{(ax^2 - b^2)^n}$ から $du$ を求めます。

$du = \frac{-n}{(ax^2 - b^2)^{n+1}} \cdot 2ax dx = \frac{-2nax}{(ax^2 - b^2)^{n+1}} dx$

部分積分 $\int u dv = uv - \int v du$ を適用すると、

$I_{n+1} = \int \frac{dx}{(ax^2 - b^2)^{n+1}} = \frac{1}{(ax^2 - b^2)^n} \cdot \frac{1}{2ab} \log |\frac{ax-b}{ax+b}| - \int \frac{1}{2ab} \log |\frac{ax-b}{ax+b}| \cdot \frac{-2nax}{(ax^2 - b^2)^{n+1}} dx$

$I_{n+1} = \frac{1}{2ab(ax^2 - b^2)^n} \log |\frac{ax-b}{ax+b}| + \int \frac{nax}{ab(ax^2 - b^2)^{n+1}} \log |\frac{ax-b}{ax+b}| dx$

この式を整理して、さらに計算を進めるのは難しいので、一般的に $I_{n+1}$ を $I_n$ で表す漸化式を求める方法を取ることが多いです。しかし、上記までが画像の範囲内で出来る部分積分の適用です。

3. 最終的な答え

$I_{n+1} = \frac{1}{2ab(ax^2 - b^2)^n} \log |\frac{ax-b}{ax+b}| + \int \frac{nax}{ab(ax^2 - b^2)^{n+1}} \log |\frac{ax-b}{ax+b}| dx$