$I_n = \int \frac{dt}{(a^2 t^2 - b^2)^n}$ が与えられたとき、$I_{n+1}$ を求める問題を解きます。

1. 問題の内容

$I_n = \int \frac{dt}{(a^2 t^2 - b^2)^n}$ が与えられたとき、$I_{n+1}$ を求める問題を解きます。

2. 解き方の手順

部分積分を用いて、$I_{n+1}$を$I_n$で表します。

まず、被積分関数を次のように変形します。

$\frac{1}{(a^2t^2 - b^2)^{n+1}} = \frac{1}{a^2t^2 - b^2} \cdot \frac{1}{(a^2t^2 - b^2)^n}$

ここで、部分積分を適用するために、

$u = \frac{1}{(a^2t^2-b^2)^n}$, $dv = \frac{1}{a^2t^2-b^2}dt$

と置きます。すると、

$du = -n(a^2t^2 - b^2)^{-n-1} \cdot 2a^2t dt = \frac{-2na^2t}{(a^2t^2 - b^2)^{n+1}} dt$

$v = \int \frac{1}{a^2t^2-b^2}dt = \frac{1}{2ab} \ln \left| \frac{at-b}{at+b} \right|$

となります。部分積分の公式 $\int udv = uv - \int vdu$ を用いると、

$I_{n+1} = \int \frac{dt}{(a^2t^2 - b^2)^{n+1}} = \int \frac{1}{(a^2t^2 - b^2)^n} \cdot \frac{dt}{a^2t^2 - b^2} = uv - \int vdu$

$I_{n+1} = \frac{1}{(a^2t^2 - b^2)^n} \cdot \frac{1}{2ab} \ln \left| \frac{at-b}{at+b} \right| - \int \frac{1}{2ab} \ln \left| \frac{at-b}{at+b} \right| \cdot \frac{-2na^2t}{(a^2t^2 - b^2)^{n+1}} dt$

$I_{n+1} = \frac{1}{2ab(a^2t^2 - b^2)^n} \ln \left| \frac{at-b}{at+b} \right| + \frac{na}{b} \int \frac{t}{(a^2t^2 - b^2)^{n+1}} \ln \left| \frac{at-b}{at+b} \right| dt$

このままでは積分が難しいので、元の積分を別の方法で変形することを試みます。

$\frac{1}{(a^2t^2 - b^2)^{n+1}} = \frac{A a^2t + B}{(a^2t^2 - b^2)^n} + \frac{C}{(a^2t^2 - b^2)^n (a^2t^2 - b^2)}$という形にはできないか試行錯誤しましたが、うまくいきませんでした。

写真に「$a^2t^2$ の微分」と書かれていることから、置換積分を使うのが正しいと思われます。

$\frac{1}{(a^2 t^2 - b^2)^{n+1}} = \frac{1}{(a^2 t^2 - b^2)} \cdot \frac{1}{(a^2 t^2 - b^2)^n}$と分解し、

$u = a^2 t^2 - b^2$と置換すると、$du = 2a^2 t dt$です。

この置換はうまくいきません。

問題文は$I_{n+1}$ を求めよ、ではなく、$I_n$の漸化式を求めよ、という意味かもしれません。

もしそうであれば、以下のように計算します。

まず、

$\frac{d}{dt} \left[ \frac{t}{(a^2t^2 - b^2)^n} \right] = \frac{(a^2t^2-b^2)^n - t \cdot n (a^2t^2 - b^2)^{n-1} \cdot 2a^2t}{(a^2t^2 - b^2)^{2n}} = \frac{(a^2t^2 - b^2) - 2na^2t^2}{(a^2t^2 - b^2)^{n+1}} = \frac{a^2t^2 - b^2 - 2na^2t^2}{(a^2t^2 - b^2)^{n+1}} = \frac{(1-2n)a^2t^2 - b^2}{(a^2t^2 - b^2)^{n+1}}$

$\int \frac{(1-2n)a^2t^2 - b^2}{(a^2t^2 - b^2)^{n+1}} dt = \frac{t}{(a^2t^2 - b^2)^n}$

$\int \frac{(1-2n)a^2t^2 - b^2}{(a^2t^2 - b^2)^{n+1}} dt = (1-2n)\int \frac{a^2t^2}{(a^2t^2 - b^2)^{n+1}} dt - b^2 \int \frac{1}{(a^2t^2 - b^2)^{n+1}} dt$

$\int \frac{(1-2n)a^2t^2 - b^2}{(a^2t^2 - b^2)^{n+1}} dt = (1-2n) \int \frac{a^2t^2-b^2+b^2}{(a^2t^2-b^2)^{n+1}}dt - b^2 I_{n+1}$

$\frac{t}{(a^2t^2 - b^2)^n} = (1-2n)I_n + (1-2n)b^2 \int \frac{1}{(a^2t^2-b^2)^{n+1}}dt - b^2I_{n+1}$

$\frac{t}{(a^2t^2 - b^2)^n} = (1-2n)I_n + (1-2n)\frac{b^2}{a^2}I_{n+1} - b^2I_{n+1}$

$\frac{t}{(a^2t^2 - b^2)^n} = (1-2n)I_n + \frac{b^2 - 2nb^2}{a^2}I_{n+1} - b^2 I_{n+1}$

$\frac{t}{(a^2t^2 - b^2)^n} = (1-2n)I_n + \frac{b^2}{a^2}I_{n+1} - \frac{2nb^2}{a^2}I_{n+1} - \frac{a^2b^2}{a^2}I_{n+1}$

$\frac{t}{(a^2t^2 - b^2)^n} = (1-2n)I_n + \left( \frac{b^2}{a^2} - \frac{2nb^2}{a^2} - b^2 \right) I_{n+1}$

$\frac{t}{(a^2t^2 - b^2)^n} = (1-2n)I_n + \frac{b^2(1 - 2n - a^2)}{a^2} I_{n+1}$

$I_{n+1} = \frac{a^2}{b^2(1 - 2n - a^2)}\frac{t}{(a^2t^2 - b^2)^n} + \frac{(2n - 1)a^2}{b^2(1 - 2n - a^2)}I_n$

3. 最終的な答え

$I_{n+1} = \frac{a^2 t}{b^2(1-2n-a^2)(a^2t^2-b^2)^n} + \frac{(2n-1)a^2}{b^2(1-2n-a^2)} I_n$

または

$I_{n+1} = \frac{a^2}{b^2(1 - 2n - a^2)}\frac{t}{(a^2t^2 - b^2)^n} + \frac{(2n - 1)a^2}{b^2(1 - 2n - a^2)}I_n$