問題は、次の積分を$I_n$とおくというものです。 $I_n = \int \frac{dt}{(a^2t^2 - b^2)^n}$

1. 問題の内容

問題は、次の積分を$I_n$とおくというものです。

$I_n = \int \frac{dt}{(a^2t^2 - b^2)^n}$

2. 解き方の手順

この問題は、$I_n$を定義しているだけで、具体的な計算を指示しているわけではありません。したがって、解き方の手順は、この積分をどのように扱うかによって変わります。例えば、$n=1$の場合を計算したり、$I_n$に関する漸化式を導出したりすることが考えられます。今回は、$n=1$の場合を計算してみます。

$I_1 = \int \frac{dt}{a^2t^2 - b^2}$

この積分は部分分数分解を利用して計算できます。

$\frac{1}{a^2t^2 - b^2} = \frac{1}{(at-b)(at+b)} = \frac{A}{at-b} + \frac{B}{at+b}$

両辺に$(at-b)(at+b)$を掛けると、

$1 = A(at+b) + B(at-b)$

$1 = (A+B)at + (A-B)b$

したがって、

$A+B = 0$

$b(A-B) = 1$

これらを解くと、

$A = \frac{1}{2b}$

$B = -\frac{1}{2b}$

したがって、

$\frac{1}{a^2t^2 - b^2} = \frac{1}{2b} \left( \frac{1}{at-b} - \frac{1}{at+b} \right)$

よって、

$I_1 = \frac{1}{2b} \int \left( \frac{1}{at-b} - \frac{1}{at+b} \right) dt$

$I_1 = \frac{1}{2b} \left( \frac{1}{a} \ln|at-b| - \frac{1}{a} \ln|at+b| \right) + C$

$I_1 = \frac{1}{2ab} \ln \left| \frac{at-b}{at+b} \right| + C$

3. 最終的な答え

$I_1 = \frac{1}{2ab} \ln \left| \frac{at-b}{at+b} \right| + C$