問題は以下の通りです。 練習21 (1): $0 \le \theta < 2\pi$ のとき、不等式 $2\sin\theta < -\sqrt{3}$ を解け。 問4: $0 \le \theta < 2\pi$ のとき、不等式 $\tan\theta < \sqrt{3}$ を解け。 練習22: $0 \le \theta < 2\pi$ のとき、不等式 $\tan\theta \ge 1$ を解け。

1. 問題の内容

問題は以下の通りです。

練習21 (1): $0 \le \theta < 2\pi$ のとき、不等式 $2\sin\theta < -\sqrt{3}$ を解け。

問4: $0 \le \theta < 2\pi$ のとき、不等式 $\tan\theta < \sqrt{3}$ を解け。

練習22: $0 \le \theta < 2\pi$ のとき、不等式 $\tan\theta \ge 1$ を解け。

2. 解き方の手順

練習21 (1): $2\sin\theta < -\sqrt{3}$

まず、不等式を $\sin\theta$ について解きます。

$\sin\theta < -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$0 \le \theta < 2\pi$ の範囲で、$\sin\theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ となる $\theta$ の値を求めます。

$\sin\theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ となるのは、$\theta = \frac{4\pi}{3}$ と $\theta = \frac{5\pi}{3}$ のときです。

$\sin\theta < -\frac{\sqrt{3}}{2}$ を満たす $\theta$ の範囲は、単位円上で考えると、$\frac{4\pi}{3} < \theta < \frac{5\pi}{3}$ となります。

問4: $\tan\theta < \sqrt{3}$

まず、$\tan\theta = \sqrt{3}$ となる $\theta$ の値を求めます。

$\tan\theta = \sqrt{3}$ となるのは、$\theta = \frac{\pi}{3}$ と $\theta = \frac{4\pi}{3}$ のときです。

$0 \le \theta < 2\pi$ の範囲で、$\tan\theta$ は $\theta = \frac{\pi}{2}$ と $\theta = \frac{3\pi}{2}$ で定義されません。

$\tan\theta < \sqrt{3}$ を満たす $\theta$ の範囲は、

$0 \le \theta < \frac{\pi}{2}$ または $\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{3} + \pi = \frac{4\pi}{3}$です。

$\tan(\pi + \frac{\pi}{3})=\tan{\frac{\pi}{3}}=\sqrt{3}$となり, $\frac{3\pi}{2} < \theta < 2\pi$.

$\tan\theta$は周期的ですので$\tan{(\frac{\pi}{2}+x)}=\tan{(\frac{\pi}{2}+\pi +x)}=\tan{(\frac{3\pi}{2}+x)}$

よって$0 \le \theta < \frac{\pi}{3}$, $\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{3\pi}{2}$, $\frac{4\pi}{3} < \theta < 2\pi$

練習22: $\tan\theta \ge 1$

まず、$\tan\theta = 1$ となる $\theta$ の値を求めます。

$\tan\theta = 1$ となるのは、$\theta = \frac{\pi}{4}$ と $\theta = \frac{5\pi}{4}$ のときです。

$0 \le \theta < 2\pi$ の範囲で、$\tan\theta$ は $\theta = \frac{\pi}{2}$ と $\theta = \frac{3\pi}{2}$ で定義されません。

$\tan\theta \ge 1$ を満たす $\theta$ の範囲は、

$\frac{\pi}{4} \le \theta < \frac{\pi}{2}$ または $\frac{5\pi}{4} \le \theta < \frac{3\pi}{2}$ です。

3. 最終的な答え

練習21 (1): $\frac{4\pi}{3} < \theta < \frac{5\pi}{3}$

問4: $0 \le \theta < \frac{\pi}{3}$, $\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{3\pi}{2}$, $\frac{4\pi}{3} < \theta < 2\pi$

練習22: $\frac{\pi}{4} \le \theta < \frac{\pi}{2}$ または $\frac{5\pi}{4} \le \theta < \frac{3\pi}{2}$