$\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{n}{n^2+k^2} = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n+\frac{k^2}{n}}$ $\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n} \frac{1}{1+(\frac{k}{n})^2}$

## 問題の解答

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1. 問題の内容

与えられた3つの極限値を求める問題です。

(1) $\lim_{n \to \infty} \left( \frac{n}{n^2+1^2} + \frac{n}{n^2+2^2} + \frac{n}{n^2+3^2} + \cdots + \frac{n}{n^2+n^2} \right)$

(2) $\lim_{n \to \infty} \frac{\pi}{n} \sum_{k=1}^{n} \cos^2{\frac{k\pi}{6n}}$

(3) $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} \sum_{k=1}^{n} k e^{\frac{k}{2n}}$

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2. 解き方の手順

**(1) の解き方**

この極限はリーマン和の形に変形して定積分として計算します。

1. 式を整理します。

$\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{n}{n^2+k^2} = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n+\frac{k^2}{n}}$

$\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n} \frac{1}{1+(\frac{k}{n})^2}$

2. リーマン和の定義に従い、定積分に変換します。$\frac{k}{n} = x$, $\frac{1}{n} = dx$, $\sum_{k=1}^{n} \to \int_{0}^{1}$

3. 定積分を計算します。

$\int_{0}^{1} \frac{1}{1+x^2} dx = [\arctan x]_{0}^{1} = \arctan 1 - \arctan 0 = \frac{\pi}{4} - 0 = \frac{\pi}{4}$

**(2) の解き方**

この極限もリーマン和の形に変形して定積分として計算します。

1. 式を整理します。

$\lim_{n \to \infty} \frac{\pi}{n} \sum_{k=1}^{n} \cos^2{\frac{k\pi}{6n}}$

2. リーマン和の定義に従い、定積分に変換します。$\frac{k}{n} = x$, $\frac{1}{n} = dx$, $\sum_{k=1}^{n} \to \int_{0}^{1}$

3. 定積分を計算します。

$\pi \int_{0}^{1} \cos^2(\frac{\pi x}{6}) dx$

$\cos^2(\theta) = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2}$を利用して積分を計算します。

$\pi \int_{0}^{1} \frac{1 + \cos(\frac{\pi x}{3})}{2} dx = \frac{\pi}{2} \int_{0}^{1} (1 + \cos(\frac{\pi x}{3})) dx$

$= \frac{\pi}{2} [x + \frac{3}{\pi}\sin(\frac{\pi x}{3})]_{0}^{1} = \frac{\pi}{2} [(1 + \frac{3}{\pi}\sin(\frac{\pi}{3})) - (0 + 0)] = \frac{\pi}{2}(1 + \frac{3}{\pi} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{2} + \frac{3\sqrt{3}}{4}$

**(3) の解き方**

この極限もリーマン和の形に変形して定積分として計算します。

1. 式を整理します。

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} \sum_{k=1}^{n} k e^{\frac{k}{2n}} = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{n} e^{\frac{k}{2n}} \frac{1}{n}$

2. リーマン和の定義に従い、定積分に変換します。$\frac{k}{n} = x$, $\frac{1}{n} = dx$, $\sum_{k=1}^{n} \to \int_{0}^{1}$

3. 定積分を計算します。

$\int_{0}^{1} x e^{\frac{x}{2}} dx$

部分積分を行います。$u = x$, $dv = e^{\frac{x}{2}} dx$ とすると、$du = dx$, $v = 2e^{\frac{x}{2}}$

$\int x e^{\frac{x}{2}} dx = 2x e^{\frac{x}{2}} - \int 2e^{\frac{x}{2}} dx = 2x e^{\frac{x}{2}} - 4e^{\frac{x}{2}}$

$\int_{0}^{1} x e^{\frac{x}{2}} dx = [2x e^{\frac{x}{2}} - 4e^{\frac{x}{2}}]_{0}^{1} = (2e^{\frac{1}{2}} - 4e^{\frac{1}{2}}) - (0 - 4) = -2e^{\frac{1}{2}} + 4 = 4 - 2\sqrt{e}$

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3. 最終的な答え

(1) $\frac{\pi}{4}$

(2) $\frac{\pi}{2} + \frac{3\sqrt{3}}{4}$

(3) $4 - 2\sqrt{e}$