練習19の(1) $2\sin\theta - 1 = 0$ と (2) $2\cos\theta + \sqrt{3} = 0$ の方程式を、$0 \le \theta < 2\pi$ の範囲で解き、さらに $\theta$ の範囲に制限がないときの解を求める。 練習20の方程式 $\tan\theta = 1$ を、$0 \le \theta < 2\pi$ の範囲で解き、さらに $\theta$ の範囲に制限がないときの解を求める。

1. 問題の内容

練習19の(1) $2\sin\theta - 1 = 0$ と (2) $2\cos\theta + \sqrt{3} = 0$ の方程式を、$0 \le \theta < 2\pi$ の範囲で解き、さらに $\theta$ の範囲に制限がないときの解を求める。

練習20の方程式 $\tan\theta = 1$ を、$0 \le \theta < 2\pi$ の範囲で解き、さらに $\theta$ の範囲に制限がないときの解を求める。

2. 解き方の手順

練習19

(1) $2\sin\theta - 1 = 0$ を解く。

まず、$\sin\theta$ について解く。

$2\sin\theta = 1$

$\sin\theta = \frac{1}{2}$

$0 \le \theta < 2\pi$ の範囲で $\sin\theta = \frac{1}{2}$ となる $\theta$ は、$\theta = \frac{\pi}{6}$ と $\theta = \frac{5\pi}{6}$ である。

$\theta$ の範囲に制限がないとき、$\theta = \frac{\pi}{6} + 2n\pi$ と $\theta = \frac{5\pi}{6} + 2n\pi$ ($n$ は整数) である。

(2) $2\cos\theta + \sqrt{3} = 0$ を解く。

まず、$\cos\theta$ について解く。

$2\cos\theta = -\sqrt{3}$

$\cos\theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$0 \le \theta < 2\pi$ の範囲で $\cos\theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ となる $\theta$ は、$\theta = \frac{5\pi}{6}$ と $\theta = \frac{7\pi}{6}$ である。

$\theta$ の範囲に制限がないとき、$\theta = \frac{5\pi}{6} + 2n\pi$ と $\theta = \frac{7\pi}{6} + 2n\pi$ ($n$ は整数) である。

練習20

$\tan\theta = 1$ を解く。

$0 \le \theta < 2\pi$ の範囲で $\tan\theta = 1$ となる $\theta$ は、$\theta = \frac{\pi}{4}$ と $\theta = \frac{5\pi}{4}$ である。

$\theta$ の範囲に制限がないとき、$\tan\theta$ の周期は $\pi$ であるから、$\theta = \frac{\pi}{4} + n\pi$ ($n$ は整数) である。

3. 最終的な答え

練習19

(1) $0 \le \theta < 2\pi$ のとき: $\theta = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$

$\theta$ の範囲に制限がないとき: $\theta = \frac{\pi}{6} + 2n\pi, \frac{5\pi}{6} + 2n\pi$ ($n$ は整数)

(2) $0 \le \theta < 2\pi$ のとき: $\theta = \frac{5\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}$

$\theta$ の範囲に制限がないとき: $\theta = \frac{5\pi}{6} + 2n\pi, \frac{7\pi}{6} + 2n\pi$ ($n$ は整数)

練習20

$0 \le \theta < 2\pi$ のとき: $\theta = \frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}$

$\theta$ の範囲に制限がないとき: $\theta = \frac{\pi}{4} + n\pi$ ($n$ は整数)