$a$を正の実数とする。2つの曲線 $C_1: y = x^3 + 2ax^2$ と $C_2: y = 3ax^2 - \frac{3}{a}$ の両方に接する直線が存在するような $a$ の範囲を求めよ。
2025/7/7
1. 問題の内容
を正の実数とする。2つの曲線 と の両方に接する直線が存在するような の範囲を求めよ。
2. 解き方の手順
(1) 上の点 における接線を求める。
を で微分すると、
したがって、接線の方程式は
(2) 上の点 における接線を求める。
を で微分すると、
したがって、接線の方程式は
(3) 2つの接線が一致するための条件を求める。
(4) 上の2式から、 を消去する。
これを に代入する。
と置換すると、。
が実数であるためには、 が正の実数でなければならない。判別式 でなければならない。
(より)
さらに、の2つの解がともに正である条件を考慮する。
解の積
解の和
が実数解を持つ条件から、 が必要である。
また、の解は
両方の解が正であればよいので、解の積が正であることを示す必要はない。