$a$を正の実数とする。2つの曲線 $C_1: y = x^3 + 2ax^2$ と $C_2: y = 3ax^2 - \frac{3}{a}$ の両方に接する直線が存在するような $a$ の範囲を求めよ。

解析学接線微分曲線判別式不等式
2025/7/7

1. 問題の内容

aaを正の実数とする。2つの曲線 C1:y=x3+2ax2C_1: y = x^3 + 2ax^2C2:y=3ax23aC_2: y = 3ax^2 - \frac{3}{a} の両方に接する直線が存在するような aa の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) C1C_1上の点 (t,t3+2at2)(t, t^3 + 2at^2) における接線を求める。
C1C_1xx で微分すると、
y=3x2+4axy' = 3x^2 + 4ax
したがって、接線の方程式は
y(t3+2at2)=(3t2+4at)(xt)y - (t^3 + 2at^2) = (3t^2 + 4at)(x - t)
y=(3t2+4at)x3t34at2+t3+2at2y = (3t^2 + 4at)x - 3t^3 - 4at^2 + t^3 + 2at^2
y=(3t2+4at)x2t32at2y = (3t^2 + 4at)x - 2t^3 - 2at^2
(2) C2C_2上の点 (s,3as23a)(s, 3as^2 - \frac{3}{a}) における接線を求める。
C2C_2xx で微分すると、
y=6axy' = 6ax
したがって、接線の方程式は
y(3as23a)=6as(xs)y - (3as^2 - \frac{3}{a}) = 6as(x - s)
y=6asx6as2+3as23ay = 6asx - 6as^2 + 3as^2 - \frac{3}{a}
y=6asx3as23ay = 6asx - 3as^2 - \frac{3}{a}
(3) 2つの接線が一致するための条件を求める。
3t2+4at=6as3t^2 + 4at = 6as
2t32at2=3as23a-2t^3 - 2at^2 = -3as^2 - \frac{3}{a}
(4) 上の2式から、ss を消去する。
s=3t2+4at6a=3t26a+4at6a=t22a+2t3s = \frac{3t^2 + 4at}{6a} = \frac{3t^2}{6a} + \frac{4at}{6a} = \frac{t^2}{2a} + \frac{2t}{3}
これを 2t32at2=3as23a-2t^3 - 2at^2 = -3as^2 - \frac{3}{a} に代入する。
2t32at2=3a(t22a+2t3)23a-2t^3 - 2at^2 = -3a (\frac{t^2}{2a} + \frac{2t}{3})^2 - \frac{3}{a}
2t32at2=3a(t44a2+2t33a+4t29)3a-2t^3 - 2at^2 = -3a (\frac{t^4}{4a^2} + \frac{2t^3}{3a} + \frac{4t^2}{9}) - \frac{3}{a}
2t32at2=3t44a2t34at233a-2t^3 - 2at^2 = -\frac{3t^4}{4a} - 2t^3 - \frac{4at^2}{3} - \frac{3}{a}
3t44a+(2+2)t3+(2a+4a3)t2+3a=0\frac{3t^4}{4a} + (-2 + 2)t^3 + (-2a + \frac{4a}{3})t^2 + \frac{3}{a} = 0
3t44a2at23+3a=0\frac{3t^4}{4a} - \frac{2at^2}{3} + \frac{3}{a} = 0
9t48a2t2+36=09t^4 - 8a^2t^2 + 36 = 0
t2=ut^2 = u と置換すると、9u28a2u+36=09u^2 - 8a^2u + 36 = 0
ttが実数であるためには、uu が正の実数でなければならない。判別式 D0D \ge 0 でなければならない。
D/4=(4a2)29(36)=16a43240D/4 = (4a^2)^2 - 9(36) = 16a^4 - 324 \ge 0
16a432416a^4 \ge 324
a432416=814a^4 \ge \frac{324}{16} = \frac{81}{4}
a292a^2 \ge \frac{9}{2}
a32=322a \ge \frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2}a>0a>0より)
さらに、uuの2つの解がともに正である条件を考慮する。
解の積 =369=4>0= \frac{36}{9} = 4 > 0
解の和 =8a29>0= \frac{8a^2}{9} > 0
uuが実数解を持つ条件から、a322a \ge \frac{3\sqrt{2}}{2} が必要である。
また、uuの解はu=4a2±16a43249u = \frac{4a^2 \pm \sqrt{16a^4 - 324}}{9}
両方の解が正であればよいので、解の積が正であることを示す必要はない。

3. 最終的な答え

a322a \ge \frac{3\sqrt{2}}{2}

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