関数 $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$ (ただし、$0 < x < 5$) のグラフが与えられており、このグラフは $x=2$ で極大、$x=4$ で極小となり、点 $(3, 5)$ が変曲点である。$a, b, c, d$ の値を求めずに、以下の問いに答える。 (1) $y' > 0$ となる $x$ の値の範囲を求めよ。 (2) $y'' > 0$ となる $x$ の値の範囲を求めよ。 (3) $y'$ が最小となる $x$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$ (ただし、$0 < x < 5$) のグラフが与えられており、このグラフは $x=2$ で極大、$x=4$ で極小となり、点 $(3, 5)$ が変曲点である。$a, b, c, d$ の値を求めずに、以下の問いに答える。

(1) $y' > 0$ となる $x$ の値の範囲を求めよ。

(2) $y'' > 0$ となる $x$ の値の範囲を求めよ。

(3) $y'$ が最小となる $x$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $y' > 0$ となる $x$ の範囲を求める。$y'$ は $y$ の導関数であり、$y' > 0$ は $y$ が増加している区間を意味する。グラフから、$0 < x < 2$ と $4 < x < 5$ の範囲で $y$ が増加していることがわかる。

(2) $y'' > 0$ となる $x$ の範囲を求める。$y''$ は $y$ の二階導関数であり、$y'' > 0$ は $y'$ が増加している区間を意味する。つまり、グラフが下に凸である区間である。与えられた条件より、点 $(3, 5)$ が変曲点であるから、$x = 3$ で $y'' = 0$ となり、$x=3$ を境に $y''$ の符号が変わる。グラフから、$3 < x < 5$ の範囲でグラフは下に凸である。

(3) $y'$ が最小となる $x$ の値を求める。$y'$ が最小となるのは、$y'' = 0$ となる $x$ の値、つまり変曲点の $x$ 座標である。したがって、$x = 3$ である。

3. 最終的な答え

(1) $0 < x < 2$, $4 < x < 5$

(2) $3 < x < 5$

(3) $x = 3$