関数 $f(x) = \frac{e^x}{e^x + 1}$ が与えられています。 (1) $y = f(x)$ の増減、凹凸、漸近線を調べてグラフを描く。 (2) $f(x)$ の逆関数 $f^{-1}(x)$ を求める。 (3) $\lim_{n \to \infty} n \left\{ f^{-1}\left( \frac{1}{n+2} \right) - f^{-1}\left( \frac{1}{n+1} \right) \right\}$ を求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{e^x}{e^x + 1}$ が与えられています。

(1) $y = f(x)$ の増減、凹凸、漸近線を調べてグラフを描く。

(2) $f(x)$ の逆関数 $f^{-1}(x)$ を求める。

(3) $\lim_{n \to \infty} n \left\{ f^{-1}\left( \frac{1}{n+2} \right) - f^{-1}\left( \frac{1}{n+1} \right) \right\}$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) $f(x)$ の増減、凹凸、漸近線を調べる。

まず、$f'(x)$ と $f''(x)$ を計算します。

$f'(x) = \frac{e^x(e^x + 1) - e^x \cdot e^x}{(e^x + 1)^2} = \frac{e^x}{(e^x + 1)^2} > 0$

したがって、$f(x)$ は単調増加です。

$f''(x) = \frac{e^x(e^x + 1)^2 - e^x \cdot 2(e^x + 1)e^x}{(e^x + 1)^4} = \frac{e^x(e^x + 1) - 2e^{2x}}{(e^x + 1)^3} = \frac{e^x - e^{2x}}{(e^x + 1)^3} = \frac{e^x(1 - e^x)}{(e^x + 1)^3}$

$f''(x) = 0$ となるのは $x = 0$ のときです。

$x < 0$ のとき $f''(x) > 0$ (下に凸)、 $x > 0$ のとき $f''(x) < 0$ (上に凸)。

漸近線:

$\lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} \frac{e^x}{e^x + 1} = 0$

$\lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{x \to \infty} \frac{e^x}{e^x + 1} = 1$

したがって、$y = 0$ と $y = 1$ は漸近線です。

(2) $f(x)$ の逆関数 $f^{-1}(x)$ を求める。

$y = \frac{e^x}{e^x + 1}$ とおくと、$y(e^x + 1) = e^x$ より、 $ye^x + y = e^x$ 、 $e^x(1 - y) = y$ 、 $e^x = \frac{y}{1 - y}$

よって、$x = \log \left( \frac{y}{1 - y} \right)$ 。

したがって、$f^{-1}(x) = \log \left( \frac{x}{1 - x} \right)$

(3) $\lim_{n \to \infty} n \left\{ f^{-1}\left( \frac{1}{n+2} \right) - f^{-1}\left( \frac{1}{n+1} \right) \right\}$ を求める。

$f^{-1}(x) = \log \left( \frac{x}{1 - x} \right)$ より、

$f^{-1}\left( \frac{1}{n+2} \right) = \log \left( \frac{1/(n+2)}{1 - 1/(n+2)} \right) = \log \left( \frac{1/(n+2)}{(n+1)/(n+2)} \right) = \log \left( \frac{1}{n+1} \right)$

$f^{-1}\left( \frac{1}{n+1} \right) = \log \left( \frac{1/(n+1)}{1 - 1/(n+1)} \right) = \log \left( \frac{1/(n+1)}{n/(n+1)} \right) = \log \left( \frac{1}{n} \right) = -\log n$

したがって、

$\lim_{n \to \infty} n \left\{ f^{-1}\left( \frac{1}{n+2} \right) - f^{-1}\left( \frac{1}{n+1} \right) \right\} = \lim_{n \to \infty} n \left( -\log(n+1) + \log n \right)$

$= \lim_{n \to \infty} n \log \left( \frac{n}{n+1} \right) = \lim_{n \to \infty} n \log \left( \frac{1}{1 + 1/n} \right) = \lim_{n \to \infty} n (-\log (1 + 1/n))$

$\lim_{x \to 0} \frac{\log (1 + x)}{x} = 1$ を使うと、$\log (1 + 1/n) \approx \frac{1}{n}$ なので、

$\lim_{n \to \infty} n \left( -\frac{1}{n} \right) = -1$

3. 最終的な答え

(1) $f(x)$ は単調増加、$x < 0$ で下に凸、$x > 0$ で上に凸。漸近線は $y = 0$ と $y = 1$。

(2) $f^{-1}(x) = \log \left( \frac{x}{1 - x} \right)$

(3) -1