$R^3$ において、閉曲面 $S$ を領域 $V$ の境界面とする。$\mathbf{r} = x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{k}$, $r = |\mathbf{r}|$ とする。原点 $O$ が $V$ の内部にあるとき、以下の等式を示せ。 $$\int_S \frac{\mathbf{r}}{r^3} \cdot \mathbf{n} \, dS = 4\pi$$ ただし、$\mathbf{n}$ は $S$ の法単位ベクトルで $S$ の外側に向いているものとする。

1. 問題の内容

$R^3$ において、閉曲面 $S$ を領域 $V$ の境界面とする。$\mathbf{r} = x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{k}$, $r = |\mathbf{r}|$ とする。原点 $O$ が $V$ の内部にあるとき、以下の等式を示せ。

$$\int_S \frac{\mathbf{r}}{r^3} \cdot \mathbf{n} \, dS = 4\pi$$

ただし、$\mathbf{n}$ は $S$ の法単位ベクトルで $S$ の外側に向いているものとする。

2. 解き方の手順

まず、ガウスの発散定理を適用することを考えます。しかし、被積分関数 $\frac{\mathbf{r}}{r^3}$ は原点で定義されないため、$V$ 全体で直接適用することはできません。そこで、原点 $O$ を中心とする半径 $\epsilon$ の球面 $S_\epsilon$ を考え、$S$ と $S_\epsilon$ で囲まれた領域 $V'$ を考えます。この領域 $V'$ では $\frac{\mathbf{r}}{r^3}$ は定義されているので、ガウスの発散定理を適用できます。

$$\nabla \cdot \left( \frac{\mathbf{r}}{r^3} \right) = \nabla \cdot \left( \frac{x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{k}}{(x^2 + y^2 + z^2)^{3/2}} \right) = 0$$

（ただし、$\mathbf{r} \neq \mathbf{0}$）。したがって、$V'$ においてガウスの発散定理より、

$$\int_{V'} \nabla \cdot \left( \frac{\mathbf{r}}{r^3} \right) \, dV = \int_{\partial V'} \frac{\mathbf{r}}{r^3} \cdot \mathbf{n} \, dS = 0$$

$\partial V'$ は $S$ と $S_\epsilon$ であり、それぞれの法線ベクトルは外向きを正とします。$S$ 上では $\mathbf{n}$ は外向き法線ベクトルですが、$S_\epsilon$ 上では内向きになります。したがって、

$$\int_S \frac{\mathbf{r}}{r^3} \cdot \mathbf{n} \, dS - \int_{S_\epsilon} \frac{\mathbf{r}}{r^3} \cdot \mathbf{n} \, dS = 0$$

よって、

$$\int_S \frac{\mathbf{r}}{r^3} \cdot \mathbf{n} \, dS = \int_{S_\epsilon} \frac{\mathbf{r}}{r^3} \cdot \mathbf{n} \, dS$$

ここで、$S_\epsilon$ 上では $r = \epsilon$ であり、$\mathbf{n} = -\frac{\mathbf{r}}{|\mathbf{r}|} = \frac{\mathbf{r}}{\epsilon}$ と表せます。したがって、

$$\int_{S_\epsilon} \frac{\mathbf{r}}{r^3} \cdot \mathbf{n} \, dS = \int_{S_\epsilon} \frac{\mathbf{r}}{\epsilon^3} \cdot \frac{\mathbf{r}}{\epsilon} \, dS = \int_{S_\epsilon} \frac{\mathbf{r} \cdot \mathbf{r}}{\epsilon^4} \, dS = \int_{S_\epsilon} \frac{\epsilon^2}{\epsilon^4} \, dS = \frac{1}{\epsilon^2} \int_{S_\epsilon} dS$$

$S_\epsilon$ は半径 $\epsilon$ の球面なので、その表面積は $4\pi \epsilon^2$ です。したがって、

$$\frac{1}{\epsilon^2} \int_{S_\epsilon} dS = \frac{1}{\epsilon^2} (4\pi \epsilon^2) = 4\pi$$

よって、

$$\int_S \frac{\mathbf{r}}{r^3} \cdot \mathbf{n} \, dS = 4\pi$$

3. 最終的な答え

$$\int_S \frac{\mathbf{r}}{r^3} \cdot \mathbf{n} \, dS = 4\pi$$