2つの定積分の値を求める問題です。 (1) $\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x(1-x)}} dx$ (2) $\int_1^\infty \frac{1}{x\sqrt{x-1}} dx$

1. 問題の内容

2つの定積分の値を求める問題です。

(1) $\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x(1-x)}} dx$

(2) $\int_1^\infty \frac{1}{x\sqrt{x-1}} dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x(1-x)}} dx$ の計算

$x = \sin^2 \theta$ と置換すると、$dx = 2\sin \theta \cos \theta d\theta$ となります。また、積分範囲は $x: 0 \to 1$ に対して、$\theta: 0 \to \pi/2$ となります。

したがって、

$\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x(1-x)}} dx = \int_0^{\pi/2} \frac{2\sin \theta \cos \theta}{\sqrt{\sin^2 \theta (1-\sin^2 \theta)}} d\theta$

$= \int_0^{\pi/2} \frac{2\sin \theta \cos \theta}{\sqrt{\sin^2 \theta \cos^2 \theta}} d\theta = \int_0^{\pi/2} \frac{2\sin \theta \cos \theta}{\sin \theta \cos \theta} d\theta$

$= \int_0^{\pi/2} 2 d\theta = 2[\theta]_0^{\pi/2} = 2(\frac{\pi}{2} - 0) = \pi$

(2) $\int_1^\infty \frac{1}{x\sqrt{x-1}} dx$ の計算

$x-1 = t^2$ と置換すると、$x = t^2 + 1$ であり、$dx = 2t dt$ となります。また、積分範囲は $x: 1 \to \infty$ に対して、$t: 0 \to \infty$ となります。

したがって、

$\int_1^\infty \frac{1}{x\sqrt{x-1}} dx = \int_0^\infty \frac{1}{(t^2+1)\sqrt{t^2}} 2t dt$

$= \int_0^\infty \frac{2t}{(t^2+1)t} dt = \int_0^\infty \frac{2}{t^2+1} dt$

$= 2[\arctan t]_0^\infty = 2(\frac{\pi}{2} - 0) = \pi$

3. 最終的な答え

(1) $\pi$

(2) $\pi$