関数 $f(x) = \frac{1}{1+x^2}$ 、区間 $x=0$ から $x=1$ 、y軸で囲まれた図形Aの面積の近似値を、以下の3つの方法で求める問題です。 (1) 区間を10等分し、各区間で最大の $f(x)$ を高さとする長方形でAを囲む場合の面積 $S_n$ 。 (2) 区間を10等分し、各区間で最小の $f(x)$ を高さとする長方形でAを囲まれる場合の面積 $T_n$ 。 (3) 区間を10等分し、各区間を台形近似した場合の面積 $U_n$ 。
2025/7/7
はい、承知いたしました。与えられた問題を解きます。
1. 問題の内容
関数 、区間 から 、y軸で囲まれた図形Aの面積の近似値を、以下の3つの方法で求める問題です。
(1) 区間を10等分し、各区間で最大の を高さとする長方形でAを囲む場合の面積 。
(2) 区間を10等分し、各区間で最小の を高さとする長方形でAを囲まれる場合の面積 。
(3) 区間を10等分し、各区間を台形近似した場合の面積 。
2. 解き方の手順
(1) の計算
区間 を10等分すると、各区間の幅は となります。
()とし、各区間で最大の を高さとする長方形の面積を計算します。
は区間 で減少関数なので、各区間 で は で最大値を取ります。
よって、
(2) の計算
区間 を10等分すると、各区間の幅は となります。
各区間 で は で最小値を取ります。
よって、
(3) の計算
区間 を10等分し、各区間を台形近似します。
各台形の面積は で近似できます。
実際に数値を計算すると、以下のようになります。
3. 最終的な答え
(1)
(2)
(3)