関数 $f(x) = \frac{1}{1+x^2}$ 、区間 $x=0$ から $x=1$ 、y軸で囲まれた図形Aの面積の近似値を、以下の3つの方法で求める問題です。 (1) 区間を10等分し、各区間で最大の $f(x)$ を高さとする長方形でAを囲む場合の面積 $S_n$ 。 (2) 区間を10等分し、各区間で最小の $f(x)$ を高さとする長方形でAを囲まれる場合の面積 $T_n$ 。 (3) 区間を10等分し、各区間を台形近似した場合の面積 $U_n$ 。

解析学積分数値積分リーマン和台形近似面積
2025/7/7
はい、承知いたしました。与えられた問題を解きます。

1. 問題の内容

関数 f(x)=11+x2f(x) = \frac{1}{1+x^2} 、区間 x=0x=0 から x=1x=1 、y軸で囲まれた図形Aの面積の近似値を、以下の3つの方法で求める問題です。
(1) 区間を10等分し、各区間で最大の f(x)f(x) を高さとする長方形でAを囲む場合の面積 SnS_n
(2) 区間を10等分し、各区間で最小の f(x)f(x) を高さとする長方形でAを囲まれる場合の面積 TnT_n
(3) 区間を10等分し、各区間を台形近似した場合の面積 UnU_n

2. 解き方の手順

(1) SnS_n の計算
区間 [0,1][0, 1] を10等分すると、各区間の幅は Δx=110\Delta x = \frac{1}{10} となります。
xi=i10x_i = \frac{i}{10}i=0,1,...,10i = 0, 1, ..., 10)とし、各区間で最大の f(x)f(x) を高さとする長方形の面積を計算します。
f(x)f(x) は区間 [0,1][0, 1] で減少関数なので、各区間 [xi1,xi][x_{i-1}, x_i]f(x)f(x)xi1x_{i-1} で最大値を取ります。
よって、 Sn=i=110f(xi1)Δx=110i=110f(i110)=110i=0911+(i10)2S_n = \sum_{i=1}^{10} f(x_{i-1}) \Delta x = \frac{1}{10} \sum_{i=1}^{10} f\left(\frac{i-1}{10}\right) = \frac{1}{10} \sum_{i=0}^{9} \frac{1}{1 + \left(\frac{i}{10}\right)^2}
Sn=110[11+0+11+(110)2+11+(210)2+...+11+(910)2]S_n = \frac{1}{10} \left[ \frac{1}{1+0} + \frac{1}{1+(\frac{1}{10})^2} + \frac{1}{1+(\frac{2}{10})^2} + ... + \frac{1}{1+(\frac{9}{10})^2} \right]
(2) TnT_n の計算
区間 [0,1][0, 1] を10等分すると、各区間の幅は Δx=110\Delta x = \frac{1}{10} となります。
各区間 [xi1,xi][x_{i-1}, x_i]f(x)f(x)xix_i で最小値を取ります。
よって、Tn=i=110f(xi)Δx=110i=110f(i10)=110i=11011+(i10)2T_n = \sum_{i=1}^{10} f(x_i) \Delta x = \frac{1}{10} \sum_{i=1}^{10} f\left(\frac{i}{10}\right) = \frac{1}{10} \sum_{i=1}^{10} \frac{1}{1 + \left(\frac{i}{10}\right)^2}
Tn=110[11+(110)2+11+(210)2+...+11+(1010)2]T_n = \frac{1}{10} \left[ \frac{1}{1+(\frac{1}{10})^2} + \frac{1}{1+(\frac{2}{10})^2} + ... + \frac{1}{1+(\frac{10}{10})^2} \right]
(3) UnU_n の計算
区間 [0,1][0, 1] を10等分し、各区間を台形近似します。
各台形の面積は f(xi1)+f(xi)2Δx\frac{f(x_{i-1}) + f(x_i)}{2} \Delta x で近似できます。
Un=i=110f(xi1)+f(xi)2Δx=120i=110[f(i110)+f(i10)]U_n = \sum_{i=1}^{10} \frac{f(x_{i-1}) + f(x_i)}{2} \Delta x = \frac{1}{20} \sum_{i=1}^{10} \left[ f\left(\frac{i-1}{10}\right) + f\left(\frac{i}{10}\right) \right]
Un=120[(f(0)+f(110))+(f(110)+f(210))+...+(f(910)+f(1))]U_n = \frac{1}{20} \left[ (f(0) + f(\frac{1}{10})) + (f(\frac{1}{10}) + f(\frac{2}{10})) + ... + (f(\frac{9}{10}) + f(1)) \right]
Un=120[f(0)+2i=19f(i10)+f(1)]=120[1+2i=1911+(i10)2+12]U_n = \frac{1}{20} \left[ f(0) + 2\sum_{i=1}^{9} f(\frac{i}{10}) + f(1) \right] = \frac{1}{20} \left[ 1 + 2\sum_{i=1}^{9} \frac{1}{1+(\frac{i}{10})^2} + \frac{1}{2} \right]
実際に数値を計算すると、以下のようになります。
Sn0.810S_n \approx 0.810
Tn0.710T_n \approx 0.710
Un0.760U_n \approx 0.760

3. 最終的な答え

(1) Sn0.810S_n \approx 0.810
(2) Tn0.710T_n \approx 0.710
(3) Un0.760U_n \approx 0.760

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