関数 $g(x) = 8\sin^2 x + 2\cos^2 x + 6\sqrt{3} \sin x \cos x$ について、$-\frac{\pi}{4} \le x \le \frac{\pi}{4}$ のときの $g(x)$ の最大値と最小値を求める。

1. 問題の内容

関数 $g(x) = 8\sin^2 x + 2\cos^2 x + 6\sqrt{3} \sin x \cos x$ について、$-\frac{\pi}{4} \le x \le \frac{\pi}{4}$ のときの $g(x)$ の最大値と最小値を求める。

2. 解き方の手順

まず、関数 $g(x)$ を変形して簡単にする。

$g(x) = 8\sin^2 x + 2\cos^2 x + 6\sqrt{3} \sin x \cos x$

$= 6\sin^2 x + 2(\sin^2 x + \cos^2 x) + 6\sqrt{3} \sin x \cos x$

$= 6\sin^2 x + 2 + 6\sqrt{3} \sin x \cos x$

$= 3(1 - \cos 2x) + 2 + 3\sqrt{3} \sin 2x$

$= 3 - 3\cos 2x + 2 + 3\sqrt{3} \sin 2x$

$= 5 + 3\sqrt{3} \sin 2x - 3\cos 2x$

ここで、$R\sin(2x+\alpha) = 3\sqrt{3}\sin 2x - 3\cos 2x$ となる $R$ と $\alpha$ を考える。

$R = \sqrt{(3\sqrt{3})^2 + (-3)^2} = \sqrt{27 + 9} = \sqrt{36} = 6$

$\cos \alpha = \frac{3\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin \alpha = \frac{-3}{6} = -\frac{1}{2}$

よって、$\alpha = -\frac{\pi}{6}$

したがって、$g(x) = 5 + 6\sin\left(2x - \frac{\pi}{6}\right)$

次に、$-\frac{\pi}{4} \le x \le \frac{\pi}{4}$ における $2x - \frac{\pi}{6}$ の範囲を求める。

$-\frac{\pi}{2} \le 2x \le \frac{\pi}{2}$

$-\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} \le 2x - \frac{\pi}{6} \le \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6}$

$-\frac{3\pi}{6} - \frac{\pi}{6} \le 2x - \frac{\pi}{6} \le \frac{3\pi}{6} - \frac{\pi}{6}$

$-\frac{4\pi}{6} \le 2x - \frac{\pi}{6} \le \frac{2\pi}{6}$

$-\frac{2\pi}{3} \le 2x - \frac{\pi}{6} \le \frac{\pi}{3}$

$-\frac{2\pi}{3} \le 2x - \frac{\pi}{6} \le \frac{\pi}{3}$ の範囲における $\sin\left(2x - \frac{\pi}{6}\right)$ の最大値と最小値を考える。

最大値は、$\sin\left(2x - \frac{\pi}{6}\right) = 1$ となる場合。ただし、この範囲に $2x - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$ が含まれていないため、$2x-\frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$ の時を考える。$g(x) = 5 + 6(\frac{\sqrt{3}}{2}) = 5 + 3\sqrt{3}$

最小値は、$\sin\left(2x - \frac{\pi}{6}\right) = \sin(-\frac{2\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ の時。$g(x) = 5 + 6(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = 5 - 3\sqrt{3}$

$2x-\frac{\pi}{6} = -\frac{\pi}{2}$ の時、$\sin(2x-\frac{\pi}{6}) = -1$ となり、その時の $g(x) = 5 + 6(-1) = -1$

$2x - \frac{\pi}{6} = -\frac{2\pi}{3}$のとき、$2x = -\frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{6} = -\frac{4\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = -\frac{3\pi}{6} = -\frac{\pi}{2}$ よって$x = -\frac{\pi}{4}$ これは条件を満たす。$g(-\frac{\pi}{4}) = 5+6\sin(-\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{6}) = 5 + 6 \sin(-\frac{2\pi}{3}) = 5 - 6 \frac{\sqrt{3}}{2} = 5 - 3\sqrt{3} \approx -0.196$

$2x-\frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$のとき、$2x = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$ よって$x = \frac{\pi}{4}$ これは条件を満たす。$g(\frac{\pi}{4}) = 5 + 6\sin(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{6}) = 5 + 6 \sin(\frac{\pi}{3}) = 5 + 6 \frac{\sqrt{3}}{2} = 5 + 3\sqrt{3} \approx 10.196$

$2x-\frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$ のとき、$g(x) = 5 + 6(1) = 11$

$2x = \frac{2\pi}{3}$, $x=\frac{\pi}{3}$ となるが$x$の範囲外なので考えない。

したがって、最大値は 11, 最小値は -

1.

3. 最終的な答え

最大値：11

最小値：-1