与えられた3つの広義積分の値を計算します。 (1) $\int_{0}^{\infty} xe^{-x} dx$ (4) $\int_{2}^{\infty} \frac{1}{x^2 - 1} dx$ (5) $\int_{0}^{\infty} \frac{1}{(x+1)(x+2)} dx$

解析学積分広義積分部分積分部分分数分解
2025/7/7

1. 問題の内容

与えられた3つの広義積分の値を計算します。
(1) 0xexdx\int_{0}^{\infty} xe^{-x} dx
(4) 21x21dx\int_{2}^{\infty} \frac{1}{x^2 - 1} dx
(5) 01(x+1)(x+2)dx\int_{0}^{\infty} \frac{1}{(x+1)(x+2)} dx

2. 解き方の手順

(1) 0xexdx\int_{0}^{\infty} xe^{-x} dx
部分積分を用いて計算します。
u=xu = x, dv=exdxdv = e^{-x}dx とすると、
du=dxdu = dx, v=exv = -e^{-x} となります。
xexdx=xexexdx=xexex=(x+1)ex\int xe^{-x} dx = -xe^{-x} - \int -e^{-x} dx = -xe^{-x} - e^{-x} = -(x+1)e^{-x}
したがって、
0xexdx=limt0txexdx=limt[(x+1)ex]0t=limt[(t+1)et((0+1)e0)]=limt[(t+1)et+1]\int_{0}^{\infty} xe^{-x} dx = \lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} xe^{-x} dx = \lim_{t \to \infty} [-(x+1)e^{-x}]_{0}^{t} = \lim_{t \to \infty} [-(t+1)e^{-t} - (-(0+1)e^{-0})] = \lim_{t \to \infty} [-(t+1)e^{-t} + 1]
ここで、limt(t+1)et=0\lim_{t \to \infty} (t+1)e^{-t} = 0 なので、
0xexdx=0+1=1\int_{0}^{\infty} xe^{-x} dx = 0 + 1 = 1
(4) 21x21dx\int_{2}^{\infty} \frac{1}{x^2 - 1} dx
部分分数分解を用いて計算します。
1x21=1(x1)(x+1)=Ax1+Bx+1\frac{1}{x^2 - 1} = \frac{1}{(x-1)(x+1)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+1}
1=A(x+1)+B(x1)1 = A(x+1) + B(x-1)
x=1x=1 のとき、 1=2A1 = 2A より A=12A = \frac{1}{2}
x=1x=-1 のとき、 1=2B1 = -2B より B=12B = -\frac{1}{2}
よって、1x21=12(x1)12(x+1)\frac{1}{x^2 - 1} = \frac{1}{2(x-1)} - \frac{1}{2(x+1)}
1x21dx=121x11x+1dx=12(lnx1lnx+1)=12lnx1x+1\int \frac{1}{x^2 - 1} dx = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1} dx = \frac{1}{2} (\ln|x-1| - \ln|x+1|) = \frac{1}{2} \ln|\frac{x-1}{x+1}|
21x21dx=limt2t1x21dx=limt[12lnx1x+1]2t=limt[12lnt1t+112ln212+1]=limt[12ln11/t1+1/t12ln(13)]=12ln(1)12ln(13)=012(ln3)=12ln3\int_{2}^{\infty} \frac{1}{x^2 - 1} dx = \lim_{t \to \infty} \int_{2}^{t} \frac{1}{x^2 - 1} dx = \lim_{t \to \infty} [\frac{1}{2} \ln|\frac{x-1}{x+1}|]_{2}^{t} = \lim_{t \to \infty} [\frac{1}{2} \ln|\frac{t-1}{t+1}| - \frac{1}{2} \ln|\frac{2-1}{2+1}|] = \lim_{t \to \infty} [\frac{1}{2} \ln|\frac{1-1/t}{1+1/t}| - \frac{1}{2} \ln(\frac{1}{3})] = \frac{1}{2} \ln(1) - \frac{1}{2} \ln(\frac{1}{3}) = 0 - \frac{1}{2} (-\ln 3) = \frac{1}{2} \ln 3
(5) 01(x+1)(x+2)dx\int_{0}^{\infty} \frac{1}{(x+1)(x+2)} dx
部分分数分解を用いて計算します。
1(x+1)(x+2)=Ax+1+Bx+2\frac{1}{(x+1)(x+2)} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{x+2}
1=A(x+2)+B(x+1)1 = A(x+2) + B(x+1)
x=1x=-1 のとき、 1=A(1+2)=A1 = A(-1+2) = A より A=1A = 1
x=2x=-2 のとき、 1=B(2+1)=B1 = B(-2+1) = -B より B=1B = -1
よって、1(x+1)(x+2)=1x+11x+2\frac{1}{(x+1)(x+2)} = \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+2}
1(x+1)(x+2)dx=1x+11x+2dx=lnx+1lnx+2=lnx+1x+2\int \frac{1}{(x+1)(x+2)} dx = \int \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+2} dx = \ln|x+1| - \ln|x+2| = \ln|\frac{x+1}{x+2}|
01(x+1)(x+2)dx=limt0t1(x+1)(x+2)dx=limt[lnx+1x+2]0t=limt[lnt+1t+2ln0+10+2]=limt[ln1+1/t1+2/tln(12)]=ln(1)ln(12)=0(ln2)=ln2\int_{0}^{\infty} \frac{1}{(x+1)(x+2)} dx = \lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} \frac{1}{(x+1)(x+2)} dx = \lim_{t \to \infty} [\ln|\frac{x+1}{x+2}|]_{0}^{t} = \lim_{t \to \infty} [\ln|\frac{t+1}{t+2}| - \ln|\frac{0+1}{0+2}|] = \lim_{t \to \infty} [\ln|\frac{1+1/t}{1+2/t}| - \ln(\frac{1}{2})] = \ln(1) - \ln(\frac{1}{2}) = 0 - (-\ln 2) = \ln 2

3. 最終的な答え

(1) 1
(4) 12ln3\frac{1}{2} \ln 3
(5) ln2\ln 2

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