次の広義積分を計算し、$\alpha$ の値によって結果が異なることを示す問題です。 $\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{\alpha}} dx = \begin{cases} \frac{1}{\alpha - 1} & (\alpha > 1) \\ \infty & (\alpha \leq 1) \end{cases}$

1. 問題の内容

次の広義積分を計算し、$\alpha$ の値によって結果が異なることを示す問題です。

$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{\alpha}} dx = \begin{cases} \frac{1}{\alpha - 1} & (\alpha > 1) \\ \infty & (\alpha \leq 1) \end{cases}$

2. 解き方の手順

まず、広義積分の定義に従い、積分の上限を $b$ として積分を計算し、$b \to \infty$ の極限を考えます。

$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{\alpha}} dx = \lim_{b \to \infty} \int_{1}^{b} x^{-\alpha} dx$

次に、$\alpha$ の値によって場合分けをして積分を行います。

(i) $\alpha \neq 1$ の場合：

$\int_{1}^{b} x^{-\alpha} dx = \left[ \frac{x^{-\alpha + 1}}{-\alpha + 1} \right]_{1}^{b} = \frac{b^{1 - \alpha}}{1 - \alpha} - \frac{1}{1 - \alpha} = \frac{1 - b^{1 - \alpha}}{\alpha - 1}$

このとき、$b \to \infty$ の極限を考えると、

$\lim_{b \to \infty} \frac{1 - b^{1 - \alpha}}{\alpha - 1} = \begin{cases} \frac{1}{\alpha - 1} & (\alpha > 1) \\ \infty & (\alpha < 1) \end{cases}$

(ii) $\alpha = 1$ の場合：

$\int_{1}^{b} \frac{1}{x} dx = \left[ \ln x \right]_{1}^{b} = \ln b - \ln 1 = \ln b$

このとき、$b \to \infty$ の極限を考えると、

$\lim_{b \to \infty} \ln b = \infty$

したがって、$\alpha \leq 1$ のとき、広義積分は発散します。

3. 最終的な答え

$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{\alpha}} dx = \begin{cases} \frac{1}{\alpha - 1} & (\alpha > 1) \\ \infty & (\alpha \leq 1) \end{cases}$