関数 $f(x) = \frac{1}{1+x^2}$ と $x=0$, $x=1$, $x$軸で囲まれた図形Aの面積の近似値を、以下の3つの方法で求める。 (1) 区間 [0, 1] を10等分し、各区間で最大の関数値を高さとする長方形の面積の和 $S_n$ を求める。 (2) 区間 [0, 1] を10等分し、各区間で最小の関数値を高さとする長方形の面積の和 $T_n$ を求める。 (3) 区間 [0, 1] を10等分し、各区間を台形で近似した面積の和 $U_n$ を求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{1}{1+x^2}$ と $x=0$, $x=1$, $x$軸で囲まれた図形Aの面積の近似値を、以下の3つの方法で求める。

(1) 区間 [0, 1] を10等分し、各区間で最大の関数値を高さとする長方形の面積の和 $S_n$ を求める。

(2) 区間 [0, 1] を10等分し、各区間で最小の関数値を高さとする長方形の面積の和 $T_n$ を求める。

(3) 区間 [0, 1] を10等分し、各区間を台形で近似した面積の和 $U_n$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) $S_n$ を求める。

区間 [0, 1] を10等分すると、各区間の幅は $\Delta x = \frac{1-0}{10} = \frac{1}{10}$ となる。

$x_i = \frac{i}{10}$ ($i = 0, 1, \dots, 10$) とする。

$f(x)$ は区間 [0, 1] で単調減少なので、各区間 $[\frac{i}{10}, \frac{i+1}{10}]$ での最大値は $f(\frac{i}{10})$ で与えられる。

したがって、$S_n$ は次のようになる。

$S_n = \sum_{i=0}^{9} f(\frac{i}{10}) \Delta x = \frac{1}{10} \sum_{i=0}^{9} \frac{1}{1 + (\frac{i}{10})^2} = \frac{1}{10} \sum_{i=0}^{9} \frac{1}{1 + \frac{i^2}{100}} = \frac{1}{10} \sum_{i=0}^{9} \frac{100}{100 + i^2} = 10 \sum_{i=0}^{9} \frac{1}{100 + i^2}$

$S_n = 10 (\frac{1}{100} + \frac{1}{101} + \frac{1}{104} + \frac{1}{109} + \frac{1}{116} + \frac{1}{125} + \frac{1}{136} + \frac{1}{149} + \frac{1}{164} + \frac{1}{181}) \approx 0.810066$

(2) $T_n$ を求める。

各区間 $[\frac{i}{10}, \frac{i+1}{10}]$ での最小値は $f(\frac{i+1}{10})$ で与えられる。

したがって、$T_n$ は次のようになる。

$T_n = \sum_{i=0}^{9} f(\frac{i+1}{10}) \Delta x = \frac{1}{10} \sum_{i=0}^{9} \frac{1}{1 + (\frac{i+1}{10})^2} = \frac{1}{10} \sum_{i=1}^{10} \frac{1}{1 + (\frac{i}{10})^2} = \frac{1}{10} \sum_{i=1}^{10} \frac{100}{100 + i^2} = 10 \sum_{i=1}^{10} \frac{1}{100 + i^2}$

$T_n = 10 (\frac{1}{101} + \frac{1}{104} + \frac{1}{109} + \frac{1}{116} + \frac{1}{125} + \frac{1}{136} + \frac{1}{149} + \frac{1}{164} + \frac{1}{181} + \frac{1}{200}) \approx 0.731066$

(3) $U_n$ を求める。

各区間を台形で近似すると、台形の面積は $\frac{1}{2} (f(\frac{i}{10}) + f(\frac{i+1}{10})) \Delta x$ で与えられる。

したがって、$U_n$ は次のようになる。

$U_n = \sum_{i=0}^{9} \frac{1}{2} (f(\frac{i}{10}) + f(\frac{i+1}{10})) \Delta x = \frac{\Delta x}{2} \sum_{i=0}^{9} (f(\frac{i}{10}) + f(\frac{i+1}{10})) = \frac{1}{20} (f(0) + 2 \sum_{i=1}^{9} f(\frac{i}{10}) + f(1))$

$U_n = \frac{1}{20} (\frac{100}{100} + 2 \sum_{i=1}^{9} \frac{100}{100 + i^2} + \frac{100}{200}) = \frac{1}{20}(1 + 2(\frac{101}{1000}S_n - \frac{1}{100}) +\frac{1}{2})$

もしくは簡単に$U_n = \frac{S_n + T_n}{2}$

$U_n = \frac{S_n + T_n}{2} \approx \frac{0.810066 + 0.731066}{2} \approx 0.770566$

3. 最終的な答え

(1) $S_n \approx 0.810066$

(2) $T_n \approx 0.731066$

(3) $U_n \approx 0.770566$