与えられた関数を微分する問題です。 (1) $y = \cos^3 x$ (2) $y = \tan^4 x$ (7) $y = \sqrt[3]{x^2+1}$ (8) $y = \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$

1. 問題の内容

与えられた関数を微分する問題です。

(1) $y = \cos^3 x$

(2) $y = \tan^4 x$

(7) $y = \sqrt[3]{x^2+1}$

(8) $y = \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$

2. 解き方の手順

(1)

$y = (\cos x)^3$であるので、合成関数の微分を行います。

$y' = 3(\cos x)^2 \cdot (-\sin x)$

$y' = -3\cos^2 x \sin x$

(2)

$y = (\tan x)^4$であるので、合成関数の微分を行います。

$y' = 4(\tan x)^3 \cdot \frac{1}{\cos^2 x}$

$y' = \frac{4\tan^3 x}{\cos^2 x}$

(7)

$y = (x^2 + 1)^{1/3}$と表せるので、合成関数の微分を行います。

$y' = \frac{1}{3}(x^2 + 1)^{-2/3} \cdot 2x$

$y' = \frac{2x}{3(x^2 + 1)^{2/3}}$

(8)

$y = (x^2+1)^{-1/2}$と表せるので、合成関数の微分を行います。

$y' = -\frac{1}{2}(x^2+1)^{-3/2} \cdot 2x$

$y' = -\frac{x}{(x^2+1)^{3/2}}$

3. 最終的な答え

(1) $y' = -3\cos^2 x \sin x$

(2) $y' = \frac{4\tan^3 x}{\cos^2 x}$

(7) $y' = \frac{2x}{3(x^2 + 1)^{2/3}}$

(8) $y' = -\frac{x}{(x^2+1)^{3/2}}$