画像に写っている微分計算の問題のうち、問題(9)と問題(10)を解きます。 問題(9): $y = \log(x + \sqrt{x^2 + 1})$ を微分する。 問題(10): $y = x^x \ (x > 0)$ を微分する。

解析学微分対数関数合成関数指数関数
2025/7/7

1. 問題の内容

画像に写っている微分計算の問題のうち、問題(9)と問題(10)を解きます。
問題(9): y=log(x+x2+1)y = \log(x + \sqrt{x^2 + 1}) を微分する。
問題(10): y=xx (x>0)y = x^x \ (x > 0) を微分する。

2. 解き方の手順

問題(9): y=log(x+x2+1)y = \log(x + \sqrt{x^2 + 1})
対数関数の微分公式 ddxlog(f(x))=f(x)f(x)\frac{d}{dx} \log(f(x)) = \frac{f'(x)}{f(x)} を利用します。
まず、f(x)=x+x2+1f(x) = x + \sqrt{x^2 + 1} とすると、
f(x)=1+12x2+12x=1+xx2+1=x2+1+xx2+1f'(x) = 1 + \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 1}} \cdot 2x = 1 + \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} = \frac{\sqrt{x^2 + 1} + x}{\sqrt{x^2 + 1}}
したがって、
y=f(x)f(x)=x2+1+xx2+1x+x2+1=x2+1+xx2+1(x+x2+1)=1x2+1y' = \frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{\frac{\sqrt{x^2 + 1} + x}{\sqrt{x^2 + 1}}}{x + \sqrt{x^2 + 1}} = \frac{\sqrt{x^2 + 1} + x}{\sqrt{x^2 + 1}(x + \sqrt{x^2 + 1})} = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}
問題(10): y=xx (x>0)y = x^x \ (x > 0)
両辺の自然対数をとります。
logy=log(xx)=xlogx\log y = \log(x^x) = x \log x
両辺を xx で微分します。
1ydydx=logx+x1x=logx+1\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \log x + x \cdot \frac{1}{x} = \log x + 1
dydx=y(logx+1)\frac{dy}{dx} = y(\log x + 1)
y=xxy = x^x を代入すると
y=xx(logx+1)y' = x^x (\log x + 1)

3. 最終的な答え

問題(9): y=1x2+1y' = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}
問題(10): y=xx(logx+1)y' = x^x (\log x + 1)

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