関数 $y = x^3 + 2$ のグラフに点 C(1, 2) から引いた接線の方程式を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = x^3 + 2$ のグラフに点 C(1, 2) から引いた接線の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) グラフ上の点 $(t, t^3 + 2)$ における接線を考える。

接線の傾きは、$y = x^3 + 2$ を微分して $y' = 3x^2$ なので、$3t^2$ となる。

したがって、点 $(t, t^3 + 2)$ における接線の方程式は、

$y - (t^3 + 2) = 3t^2 (x - t)$

$y = 3t^2 x - 3t^3 + t^3 + 2$

$y = 3t^2 x - 2t^3 + 2$

(2) この接線が点 (1, 2) を通るので、接線の方程式に $x = 1$, $y = 2$ を代入する。

$2 = 3t^2 (1) - 2t^3 + 2$

$2 = 3t^2 - 2t^3 + 2$

$0 = 3t^2 - 2t^3$

$0 = t^2 (3 - 2t)$

よって、$t = 0$ または $t = \frac{3}{2}$

(3) $t = 0$ のとき、接線の方程式は $y = 3(0)^2 x - 2(0)^3 + 2 = 2$

$y = 2$

$t = \frac{3}{2}$ のとき、接線の方程式は

$y = 3(\frac{3}{2})^2 x - 2(\frac{3}{2})^3 + 2$

$y = 3(\frac{9}{4}) x - 2(\frac{27}{8}) + 2$

$y = \frac{27}{4} x - \frac{27}{4} + 2$

$y = \frac{27}{4} x - \frac{27}{4} + \frac{8}{4}$

$y = \frac{27}{4} x - \frac{19}{4}$

3. 最終的な答え

$y = 2$

$y = \frac{27}{4} x - \frac{19}{4}$