関数 $y = \cos^3 x$ を微分します。

はい、承知いたしました。画像にある問題のうち、42(1) $y = \cos^3 x$ と、43(1) $y = \sin^4 3x$ を解きます。

**42(1) $y = \cos^3 x$**

1. 問題の内容

関数 $y = \cos^3 x$ を微分します。

2. 解き方の手順

これは合成関数の微分です。$u = \cos x$ とおくと、$y = u^3$ となります。

連鎖律（chain rule）を使うと、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{du} = 3u^2 = 3\cos^2 x$

$\frac{du}{dx} = -\sin x$

よって、

$\frac{dy}{dx} = 3\cos^2 x \cdot (-\sin x) = -3\cos^2 x \sin x$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = -3\cos^2 x \sin x$

**43(1) $y = \sin^4 3x$**

1. 問題の内容

関数 $y = \sin^4 3x$ を微分します。

2. 解き方の手順

これも合成関数の微分です。$u = \sin 3x$ とおくと、$y = u^4$ となります。

さらに、$v = 3x$ とおくと、$u = \sin v$ となります。

連鎖律を2回使うと、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dv} \cdot \frac{dv}{dx}$

$\frac{dy}{du} = 4u^3 = 4\sin^3 3x$

$\frac{du}{dv} = \cos v = \cos 3x$

$\frac{dv}{dx} = 3$

よって、

$\frac{dy}{dx} = 4\sin^3 3x \cdot \cos 3x \cdot 3 = 12\sin^3 3x \cos 3x$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = 12\sin^3 3x \cos 3x$