与えられた三次関数 $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$ について、グラフが $x=2$ で極大、$x=4$ で極小を持ち、点 $(3, 5)$ が変曲点であるという条件のもとで、以下の問いに答えます。 (1) $y' > 0$ となる $x$ の値の範囲を求めよ。 (2) $y'' > 0$ となる $x$ の値の範囲を求めよ。 (3) $y'$ が最小となる $x$ の値を求めよ。 ただし、$a, b, c, d$ の値を求める必要はありません。

1. 問題の内容

与えられた三次関数 $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$ について、グラフが $x=2$ で極大、$x=4$ で極小を持ち、点 $(3, 5)$ が変曲点であるという条件のもとで、以下の問いに答えます。

(1) $y' > 0$ となる $x$ の値の範囲を求めよ。

(2) $y'' > 0$ となる $x$ の値の範囲を求めよ。

(3) $y'$ が最小となる $x$ の値を求めよ。

ただし、$a, b, c, d$ の値を求める必要はありません。

2. 解き方の手順

(1) $y' > 0$ となる $x$ の範囲について考えます。$y' = 0$ となる $x$ は極大値、極小値を取る $x$ 座標です。グラフから、$x < 2$ または $x > 4$ の範囲で $y$ は増加するため、$y' > 0$ となります。

(2) $y'' > 0$ となる $x$ の範囲について考えます。$y'' = 0$ となる $x$ は変曲点の $x$ 座標です。変曲点 $(3, 5)$ より、$x > 3$ の範囲でグラフは下に凸になるので、$y'' > 0$ となります。

(3) $y'$ が最小となる $x$ の値について考えます。$y' = 3ax^2 + 2bx + c$ は二次関数なので、$y''=0$ のとき、$y'$ は最小値を取ります。$y''=6ax+2b$ なので、変曲点 $x=3$ で $y'' = 0$ となります。したがって、$y'$ が最小となる $x$ の値は $3$ です。

3. 最終的な答え

(1) $x < 2$ または $x > 4$

(2) $x > 3$

(3) $x = 3$