$f(x)$ が2次関数であり、かつ $f(x) = x^2 - \int_0^1 f(t) dt + 2 \int_1^x f'(t) dt$ を満たすとき、以下の問題を解きます。 (1) $f(x)$ が2次関数であることを示す。これは問題文に既に書かれているので、実質的には (2) の $f(x)$ を求める問題です。 (2) $f(x)$ を求める。

1. 問題の内容

$f(x)$ が2次関数であり、かつ $f(x) = x^2 - \int_0^1 f(t) dt + 2 \int_1^x f'(t) dt$ を満たすとき、以下の問題を解きます。

(1) $f(x)$ が2次関数であることを示す。これは問題文に既に書かれているので、実質的には (2) の $f(x)$ を求める問題です。

(2) $f(x)$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ が与えられた等式を満たすことを利用して、$f(x)$ を求めます。

$f(x) = x^2 - \int_0^1 f(t) dt + 2 \int_1^x f'(t) dt$

$\int_0^1 f(t) dt$ は定数なので、$A = \int_0^1 f(t) dt$ とおきます。

また、$\int_1^x f'(t) dt = [f(t)]_1^x = f(x) - f(1)$ です。

したがって、

$f(x) = x^2 - A + 2(f(x) - f(1))$

$f(x) = x^2 - A + 2f(x) - 2f(1)$

$f(x) = -x^2 + A + 2f(1)$

$f(x)$ は2次関数なので、$f(x) = -x^2 + A + 2f(1)$ の形であることは整合しています。

ここで、$f(1)$ を計算します。

$f(1) = -1^2 + A + 2f(1)$

$f(1) = -1 + A + 2f(1)$

$-f(1) = -1 + A$

$f(1) = 1 - A$

したがって、$f(x) = -x^2 + A + 2(1 - A) = -x^2 + A + 2 - 2A = -x^2 - A + 2$ となります。

次に、$A = \int_0^1 f(t) dt$ を計算します。

$A = \int_0^1 (-t^2 - A + 2) dt = \left[ -\frac{t^3}{3} - At + 2t \right]_0^1 = -\frac{1}{3} - A + 2$

$A = -\frac{1}{3} - A + 2$

$2A = 2 - \frac{1}{3} = \frac{6}{3} - \frac{1}{3} = \frac{5}{3}$

$A = \frac{5}{6}$

したがって、$f(x) = -x^2 - \frac{5}{6} + 2 = -x^2 - \frac{5}{6} + \frac{12}{6} = -x^2 + \frac{7}{6}$ となります。

3. 最終的な答え

$f(x) = -x^2 + \frac{7}{6}$