はい、承知いたしました。それぞれの問題について、$ \frac{d^2y}{dx^2} $ を求める手順と最終的な答えを以下に示します。

はい、承知いたしました。それぞれの問題について、$\frac{d^2y}{dx^2}$ を求める手順と最終的な答えを以下に示します。

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1. 問題の内容**

与えられた陰関数 $y = y(x)$ について、以下の問いに答える問題です。

(1) $x^2 - y^2 = xy$ について、$\frac{d^2y}{dx^2}$ を求める。

(2) $x^2 + 2xy + 2y^2 = 1$ について、$x = 1$ での $\frac{d^2y}{dx^2}$ の値を求める。

(3) $x^3y^2 + \cos y - \log(2+x^2) = 0$ について、$x = 0$ での $\frac{d^2y}{dx^2}$ の値を求める。ただし、$0 \le y < 2\pi$ とする。

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2. 解き方の手順**

**(1) $x^2 - y^2 = xy$ について、$\frac{d^2y}{dx^2}$ を求める**

まず、$x$ で暗黙的に微分します。

$2x - 2y\frac{dy}{dx} = y + x\frac{dy}{dx}$

これを $\frac{dy}{dx}$ について解きます。

$\frac{dy}{dx} = \frac{2x - y}{x + 2y}$

次に、もう一度 $x$ で微分します。

$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{(2 - \frac{dy}{dx})(x + 2y) - (2x - y)(1 + 2\frac{dy}{dx})}{(x + 2y)^2}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{2x - y}{x + 2y}$ を代入します。

$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{(2 - \frac{2x - y}{x + 2y})(x + 2y) - (2x - y)(1 + 2\frac{2x - y}{x + 2y})}{(x + 2y)^2}$

$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{(2(x + 2y) - (2x - y))(x + 2y) - (2x - y)((x + 2y) + 2(2x - y))}{(x + 2y)^3}$

$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{(2x + 4y - 2x + y)(x + 2y) - (2x - y)(x + 2y + 4x - 2y)}{(x + 2y)^3}$

$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{(5y)(x + 2y) - (2x - y)(5x)}{(x + 2y)^3}$

$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{5xy + 10y^2 - 10x^2 + 5xy}{(x + 2y)^3}$

$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{10xy + 10y^2 - 10x^2}{(x + 2y)^3}$

$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{10(xy + y^2 - x^2)}{(x + 2y)^3}$

問題の条件から、$x^2 - y^2 = xy$ ですので、$xy + y^2 - x^2 = -2x^2 + 2y^2$となります。

$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{10(y^2 - x^2)}{(x + 2y)^3} = \frac{10(-xy)}{(x + 2y)^3} = \frac{-10xy}{(x + 2y)^3}$

**(2) $x^2 + 2xy + 2y^2 = 1$ について、$x = 1$ での $\frac{d^2y}{dx^2}$ の値を求める**

$x = 1$ を代入すると、$1 + 2y + 2y^2 = 1$、つまり $2y(1 + y) = 0$。したがって、$y = 0$ または $y = -1$。

まず、$x$ で暗黙的に微分します。

$2x + 2y + 2x\frac{dy}{dx} + 4y\frac{dy}{dx} = 0$

$\frac{dy}{dx} = -\frac{x + y}{x + 2y}$

$y = 0$ のとき、$\frac{dy}{dx} = -\frac{1 + 0}{1 + 0} = -1$

$y = -1$ のとき、$\frac{dy}{dx} = -\frac{1 - 1}{1 - 2} = 0$

次に、もう一度 $x$ で微分します。

$\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{(1 + \frac{dy}{dx})(x + 2y) - (x + y)(1 + 2\frac{dy}{dx})}{(x + 2y)^2}$

$y = 0, \frac{dy}{dx} = -1$ のとき

$\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{(1 - 1)(1 + 0) - (1 + 0)(1 - 2)}{(1 + 0)^2} = -\frac{0 - 1(-1)}{1} = -1$

$y = -1, \frac{dy}{dx} = 0$ のとき

$\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{(1 + 0)(1 - 2) - (1 - 1)(1 + 0)}{(1 - 2)^2} = -\frac{1(-1) - 0}{1} = 1$

**(3) $x^3y^2 + \cos y - \log(2+x^2) = 0$ について、$x = 0$ での $\frac{d^2y}{dx^2}$ の値を求める**

$x = 0$ を代入すると、$\cos y - \log 2 = 0$、つまり $\cos y = \log 2$。$0 \le y < 2\pi$ なので、これを満たす $y$ が存在します。

まず、$x$ で暗黙的に微分します。

$3x^2y^2 + 2x^3y\frac{dy}{dx} - \sin y\frac{dy}{dx} - \frac{2x}{2 + x^2} = 0$

$\frac{dy}{dx} = \frac{-3x^2y^2 + \frac{2x}{2 + x^2}}{2x^3y - \sin y}$

$x = 0$ のとき、$\frac{dy}{dx} = 0$。

次に、もう一度 $x$ で微分します。

$6xy^2 + 3x^2(2y\frac{dy}{dx}) + 6x^2y\frac{dy}{dx} + 2x^3(\frac{dy}{dx})^2 + 2x^3y\frac{d^2y}{dx^2} - \cos y (\frac{dy}{dx})^2 - \sin y \frac{d^2y}{dx^2} - \frac{2(2 + x^2) - 2x(2x)}{(2 + x^2)^2} = 0$

$x = 0, \frac{dy}{dx} = 0$ を代入すると、

$-\sin y \frac{d^2y}{dx^2} - \frac{4}{4} = 0$

$-\sin y \frac{d^2y}{dx^2} - 1 = 0$

$\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{1}{\sin y}$

$\cos y = \log 2$ より、$\sin y = \pm\sqrt{1 - (\log 2)^2}$。

したがって、$\frac{d^2y}{dx^2} = \mp\frac{1}{\sqrt{1 - (\log 2)^2}}$。

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3. 最終的な答え**

(1) $\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{-10xy}{(x + 2y)^3}$

(2) $x = 1$ での $\frac{d^2y}{dx^2}$ の値は、$y = 0$ のとき $-1$、$y = -1$ のとき $1$。

(3) $x = 0$ での $\frac{d^2y}{dx^2}$ の値は、$\mp\frac{1}{\sqrt{1 - (\log 2)^2}}$。