与えられた4つの関数をそれぞれ微分する問題です。 (1) $y = \sin^4(3x)$ (2) $y = \tan^3(2x)$ (3) $y = e^{x^3} \sin(2x)$ (4) $y = \{\log(x^2 + 1)\}^3$

1. 問題の内容

与えられた4つの関数をそれぞれ微分する問題です。

(1) $y = \sin^4(3x)$

(2) $y = \tan^3(2x)$

(3) $y = e^{x^3} \sin(2x)$

(4) $y = \{\log(x^2 + 1)\}^3$

2. 解き方の手順

(1) $y = \sin^4(3x)$

合成関数の微分を行います。まず、全体を $u^4$ と見て微分し、次に $u = \sin(3x)$ を微分し、最後に $3x$ を微分します。

$\frac{dy}{dx} = 4\sin^3(3x) \cdot \frac{d}{dx}(\sin(3x)) = 4\sin^3(3x) \cdot \cos(3x) \cdot \frac{d}{dx}(3x) = 4\sin^3(3x) \cos(3x) \cdot 3$

(2) $y = \tan^3(2x)$

これも合成関数の微分です。まず、全体を $u^3$ と見て微分し、次に $u = \tan(2x)$ を微分し、最後に $2x$ を微分します。

$\frac{dy}{dx} = 3\tan^2(2x) \cdot \frac{d}{dx}(\tan(2x)) = 3\tan^2(2x) \cdot \frac{1}{\cos^2(2x)} \cdot \frac{d}{dx}(2x) = 3\tan^2(2x) \cdot \frac{1}{\cos^2(2x)} \cdot 2$

(3) $y = e^{x^3} \sin(2x)$

積の微分と合成関数の微分を行います。

$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(e^{x^3}) \cdot \sin(2x) + e^{x^3} \cdot \frac{d}{dx}(\sin(2x))$

$\frac{d}{dx}(e^{x^3}) = e^{x^3} \cdot \frac{d}{dx}(x^3) = e^{x^3} \cdot 3x^2$

$\frac{d}{dx}(\sin(2x)) = \cos(2x) \cdot \frac{d}{dx}(2x) = \cos(2x) \cdot 2$

$\frac{dy}{dx} = 3x^2e^{x^3} \sin(2x) + 2e^{x^3} \cos(2x)$

(4) $y = \{\log(x^2 + 1)\}^3$

これも合成関数の微分です。

$\frac{dy}{dx} = 3\{\log(x^2 + 1)\}^2 \cdot \frac{d}{dx}\{\log(x^2 + 1)\} = 3\{\log(x^2 + 1)\}^2 \cdot \frac{1}{x^2 + 1} \cdot \frac{d}{dx}(x^2 + 1) = 3\{\log(x^2 + 1)\}^2 \cdot \frac{1}{x^2 + 1} \cdot 2x$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = 12\sin^3(3x)\cos(3x)$

(2) $\frac{dy}{dx} = 6\tan^2(2x) \cdot \frac{1}{\cos^2(2x)} = \frac{6\tan^2(2x)}{\cos^2(2x)}$

(3) $\frac{dy}{dx} = 3x^2e^{x^3} \sin(2x) + 2e^{x^3} \cos(2x)$

(4) $\frac{dy}{dx} = \frac{6x\{\log(x^2 + 1)\}^2}{x^2 + 1}$