(1) $n$ を2以上の自然数とするとき、関数 $\frac{\cos x}{\sin^n x}$ の導関数を求めよ。 (2) 不定積分 $\int \frac{dx}{\sin x}$ を求めよ。 (3) $n$ を3以上の自然数とするとき、部分積分法を用いて $\int \frac{\cos^2 x}{\sin^n x} dx = \frac{1}{1-n} \frac{\cos x}{\sin^{n-1} x} + \int \frac{dx}{\sin^{n-2} x}$ が成り立つことを証明せよ。 (4) 定積分 $\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos^2 x}{\sin^3 x} dx$ の値を求めよ。

はい、承知いたしました。問題を一つずつ解いていきます。

1. 問題の内容

(1) $n$ を2以上の自然数とするとき、関数 $\frac{\cos x}{\sin^n x}$ の導関数を求めよ。

(2) 不定積分 $\int \frac{dx}{\sin x}$ を求めよ。

(3) $n$ を3以上の自然数とするとき、部分積分法を用いて

$\int \frac{\cos^2 x}{\sin^n x} dx = \frac{1}{1-n} \frac{\cos x}{\sin^{n-1} x} + \int \frac{dx}{\sin^{n-2} x}$

が成り立つことを証明せよ。

(4) 定積分 $\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos^2 x}{\sin^3 x} dx$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $\frac{\cos x}{\sin^n x}$ の導関数を求める。

$y = \frac{\cos x}{\sin^n x}$ とおく。積の微分公式あるいは商の微分公式を用いる。

商の微分公式を用いると、

$y' = \frac{-\sin x \cdot \sin^n x - \cos x \cdot n \sin^{n-1} x \cos x}{\sin^{2n} x} = \frac{-\sin^{n+1} x - n \cos^2 x \sin^{n-1} x}{\sin^{2n} x} = \frac{-\sin^2 x - n \cos^2 x}{\sin^{n+1} x} = \frac{-(1-\cos^2 x) - n \cos^2 x}{\sin^{n+1} x} = \frac{-1 + (1-n) \cos^2 x}{\sin^{n+1} x}$

$y' = \frac{-1 + (1-n)(1-\sin^2 x)}{\sin^{n+1} x} = \frac{-n + (n-1) \sin^2 x}{\sin^{n+1} x}$

(2) $\int \frac{dx}{\sin x}$ を求める。

$\int \frac{dx}{\sin x} = \int \frac{dx}{2\sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}} = \int \frac{1}{2} \frac{1}{\tan \frac{x}{2} \cos^2 \frac{x}{2}} dx = \int \frac{1}{2} \frac{1}{\tan \frac{x}{2}} \frac{1}{\cos^2 \frac{x}{2}} dx$

$t = \tan \frac{x}{2}$ とおくと、$dt = \frac{1}{2} \frac{1}{\cos^2 \frac{x}{2}} dx$ より、

$\int \frac{dt}{t} = \log |t| + C = \log |\tan \frac{x}{2}| + C$

(3) $\int \frac{\cos^2 x}{\sin^n x} dx = \frac{1}{1-n} \frac{\cos x}{\sin^{n-1} x} + \int \frac{dx}{\sin^{n-2} x}$ を示す。

$\int \frac{\cos^2 x}{\sin^n x} dx = \int \frac{1 - \sin^2 x}{\sin^n x} dx = \int \frac{1}{\sin^n x} dx - \int \frac{\sin^2 x}{\sin^n x} dx = \int \frac{1}{\sin^n x} dx - \int \frac{1}{\sin^{n-2} x} dx$

よって、$\int \frac{dx}{\sin^n x} = \int \frac{\cos^2 x}{\sin^n x} dx + \int \frac{dx}{\sin^{n-2} x}$ を示す。

$\int \frac{1}{\sin^n x} dx = \int \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin^n x} dx = \int \frac{\sin^2 x}{\sin^n x} dx + \int \frac{\cos^2 x}{\sin^n x} dx = \int \frac{1}{\sin^{n-2} x} dx + \int \frac{\cos^2 x}{\sin^n x} dx$

$\int \frac{\cos^2 x}{\sin^n x} dx = \int \cos x \frac{\cos x}{\sin^n x} dx = \int \cos x (-\frac{1}{n-1} (\sin^{1-n} x)') dx = -\frac{\cos x}{n-1} \sin^{1-n} x - \int \frac{\sin x}{n-1} \sin^{1-n} x dx = -\frac{\cos x}{(n-1) \sin^{n-1} x} - \frac{1}{1-n} \int \frac{1}{\sin^{n-2} x} dx$

$\int \frac{\cos^2 x}{\sin^n x} dx = \frac{1}{1-n} \frac{\cos x}{\sin^{n-1} x} + \frac{1}{n-1} \int \frac{dx}{\sin^{n-2} x}$

(4) $\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos^2 x}{\sin^3 x} dx$ を求める。

(3)より、$n=3$のとき、$\int \frac{\cos^2 x}{\sin^3 x} dx = \frac{1}{-2} \frac{\cos x}{\sin^2 x} + \int \frac{dx}{\sin x} = -\frac{1}{2} \frac{\cos x}{\sin^2 x} + \log |\tan \frac{x}{2}| + C$

$\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos^2 x}{\sin^3 x} dx = [-\frac{1}{2} \frac{\cos x}{\sin^2 x} + \log |\tan \frac{x}{2}|]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} = (-\frac{1}{2} \cdot 0 + \log 1) - (-\frac{1}{2} \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{(\frac{\sqrt{2}}{2})^2} + \log (\tan \frac{\pi}{8}))$

$= 0 - (-\frac{1}{2} \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}} + \log (\sqrt{2}-1)) = \frac{\sqrt{2}}{2} - \log (\sqrt{2}-1)$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{-n + (n-1) \sin^2 x}{\sin^{n+1} x}$

(2) $\log |\tan \frac{x}{2}| + C$

(3) 上記参照

(4) $\frac{\sqrt{2}}{2} - \log (\sqrt{2}-1)$