(1) $(\frac{2}{5})^{\frac{2}{5}}$ と $(\frac{1}{3})^{\frac{1}{3}}$ の大小を比較する。 (2) $4^{\frac{5}{6}}$, $\log_2 3$, $\log_4 7$, $2^{\frac{4}{3}}$ を小さい方から順に並べる。

1. 問題の内容

(1) $(\frac{2}{5})^{\frac{2}{5}}$ と $(\frac{1}{3})^{\frac{1}{3}}$ の大小を比較する。

(2) $4^{\frac{5}{6}}$, $\log_2 3$, $\log_4 7$, $2^{\frac{4}{3}}$ を小さい方から順に並べる。

2. 解き方の手順

(1)

$f(x) = x^{\frac{1}{x}}$ とおく。このとき、与えられた2つの数は $f(\frac{5}{2})$ と $f(3)$ である。

$g(x) = \log f(x) = \frac{1}{x} \log x$ を考える。

$g'(x) = -\frac{1}{x^2} \log x + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{x^2}(1 - \log x)$

$g'(x) = 0$ となるのは $1 - \log x = 0$ のときなので、$\log x = 1$ すなわち $x = e$ のとき。

$x < e$ のとき $g'(x) > 0$ なので、$g(x)$ は増加関数。

$x > e$ のとき $g'(x) < 0$ なので、$g(x)$ は減少関数。

したがって、$g(x)$ は $x = e$ で最大値をとる。

$e \approx 2.718$ なので、$\frac{5}{2} > e$ であり、$3 > e$ である。

$f(\frac{5}{2})$ と $f(3)$ の大小を比較するために、$g(\frac{5}{2})$ と $g(3)$ を比較する。

$g(\frac{5}{2}) = \frac{2}{5} \log \frac{5}{2} = \frac{2}{5} (\log 5 - \log 2)$

$g(3) = \frac{1}{3} \log 3$

$15g(\frac{5}{2}) = 6 (\log 5 - \log 2)$

$15g(3) = 5 \log 3$

$6 (\log 5 - \log 2)$ と $5 \log 3$ の大小を比較する。

$6 \log 5 - 6 \log 2$ と $5 \log 3$ を比較する。

$\log 2 \approx 0.3010$, $\log 3 \approx 0.4771$, $\log 5 = \log \frac{10}{2} = 1 - \log 2 \approx 1 - 0.3010 = 0.6990$

$6(0.6990) - 6(0.3010) = 6(0.3980) = 2.388$

$5(0.4771) = 2.3855$

$6 \log 5 - 6 \log 2 > 5 \log 3$ なので、$g(\frac{5}{2}) > g(3)$。

したがって、$f(\frac{5}{2}) > f(3)$。

よって、$(\frac{2}{5})^{\frac{2}{5}} > (\frac{1}{3})^{\frac{1}{3}}$。

(2)

$4^{\frac{5}{6}} = (2^2)^{\frac{5}{6}} = 2^{\frac{5}{3}}$

$\log_2 3 = \frac{\log_4 3}{\log_4 2} = \frac{\log_4 3}{\frac{1}{2}} = 2 \log_4 3 = \log_4 3^2 = \log_4 9$

$\log_4 7$

$2^{\frac{4}{3}}$

$4^{\frac{5}{6}} = 2^{\frac{5}{3}} = 2^{1.666...} \approx 2^{1.7}$

$2^{\frac{4}{3}} = 2^{1.333...} \approx 2^{1.3}$

$\log_4 7 = \frac{\log_2 7}{\log_2 4} = \frac{\log_2 7}{2}$ なので、$\log_2 7 = 2 \log_4 7$。

$\log_2 3 < \log_2 4 = 2$ なので、$\log_2 3 < 2$。

$\log_2 8 = 3$ なので、$\log_2 7 < 3$。

$\log_4 7 < \log_4 16 = 2$ なので、$\log_4 7 < 2$。

$4^{\frac{5}{6}} > 4^1 = 4$, $\log_2 3 < 2$, $\log_4 7 < 2$, $2^{\frac{4}{3}} > 2^1 = 2$.

$\log_2 3 < 2 < 2^{\frac{4}{3}} < 4^{\frac{5}{6}}$。

$\log_4 7 < 2 < 2^{\frac{4}{3}} < 4^{\frac{5}{6}}$.

$\log_2 3 \approx 1.585$, $\log_4 7 \approx 1.404$, $2^{\frac{4}{3}} \approx 2.52$, $4^{\frac{5}{6}} \approx 3.17$.

したがって、$\log_4 7 < \log_2 3 < 2^{\frac{4}{3}} < 4^{\frac{5}{6}}$。

3. 最終的な答え

(1) $(\frac{2}{5})^{\frac{2}{5}} > (\frac{1}{3})^{\frac{1}{3}}$

(2) $\log_4 7, \log_2 3, 2^{\frac{4}{3}}, 4^{\frac{5}{6}}$