以下の2つの関数を微分する問題です。 (1) $xe^x$ (2) $\sin(x^2+1)$

1. 問題の内容

以下の2つの関数を微分する問題です。

(1) $xe^x$

(2) $\sin(x^2+1)$

2. 解き方の手順

(1) $xe^x$ の微分

積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を用います。ここで、$u=x$、$v=e^x$ とすると、$u'=1$、$v'=e^x$ となります。したがって、

$$(xe^x)' = (x)'e^x + x(e^x)' = 1 \cdot e^x + x \cdot e^x = e^x + xe^x$$

(2) $\sin(x^2+1)$ の微分

合成関数の微分公式 $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$ を用います。ここで、$f(x) = \sin x$、$g(x) = x^2+1$ とすると、$f'(x) = \cos x$、$g'(x) = 2x$ となります。したがって、

$$(\sin(x^2+1))' = \cos(x^2+1) \cdot (x^2+1)' = \cos(x^2+1) \cdot 2x = 2x\cos(x^2+1)$$

3. 最終的な答え

(1) $e^x + xe^x$

(2) $2x\cos(x^2+1)$