二つの放物線 $C_1: y = x^2 + 2x + 4$ と $C_2: y = x^2 - 2x + 2$ がある。 (1) $C_1$ と $C_2$ の両方に接する直線 $l$ の方程式を求めよ。ただし、$l$ の方程式は $y = -x + \frac{1}{2}$ の形で与えられることがわかっている。 (2) $C_1$, $C_2$, $l$ で囲まれた図形の面積を求めよ。

以下に、問題の解答を示します。

1. 問題の内容

二つの放物線 $C_1: y = x^2 + 2x + 4$ と $C_2: y = x^2 - 2x + 2$ がある。

(1) $C_1$ と $C_2$ の両方に接する直線 $l$ の方程式を求めよ。ただし、$l$ の方程式は $y = -x + \frac{1}{2}$ の形で与えられることがわかっている。

(2) $C_1$, $C_2$, $l$ で囲まれた図形の面積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

直線 $l$ の方程式を $y = -x + b$ とおく。$C_1$ と $l$ が接するための条件を考える。

$x^2 + 2x + 4 = -x + b$ より $x^2 + 3x + (4-b) = 0$。

これが重解を持つための条件は、判別式 $D = 3^2 - 4(4-b) = 0$ より $9 - 16 + 4b = 0$。

$4b = 7$ より $b = \frac{7}{4}$。

したがって、$l$ の方程式は $y = -x + \frac{7}{4}$。

これは与えられた形と異なっているため、計算ミスを疑う。問題文に $y = -x + \frac{1}{2}$ とあるが、これは明らかに誤植である。

同様に、$C_2$ と $l$ が接するための条件を考える。

$x^2 - 2x + 2 = -x + b$ より $x^2 - x + (2-b) = 0$。

これが重解を持つための条件は、判別式 $D = (-1)^2 - 4(2-b) = 0$ より $1 - 8 + 4b = 0$。

$4b = 7$ より $b = \frac{7}{4}$。

したがって、$l$ の方程式は $y = -x + \frac{7}{4}$。

問題文の指示に従うなら、$\frac{1}{2}$ の部分を $\frac{7}{4}$ に書き換えて、$y = -x + \frac{7}{4}$とする。

$C_1$ と $l$ の接点の $x$ 座標は、$x^2 + 3x + (4 - \frac{7}{4}) = x^2 + 3x + \frac{9}{4} = (x + \frac{3}{2})^2 = 0$ より $x = -\frac{3}{2}$。

$C_2$ と $l$ の接点の $x$ 座標は、$x^2 - x + (2 - \frac{7}{4}) = x^2 - x + \frac{1}{4} = (x - \frac{1}{2})^2 = 0$ より $x = \frac{1}{2}$。

(2)

$C_1$ と $C_2$ の差を考える。

$C_1 - C_2 = (x^2 + 2x + 4) - (x^2 - 2x + 2) = 4x + 2$。

$C_1$ と $C_2$ の交点の $x$ 座標は $4x + 2 = 0$ より $x = -\frac{1}{2}$。

面積は、$\int_{-\frac{3}{2}}^{-\frac{1}{2}} ((x^2 + 2x + 4) - (-x + \frac{7}{4})) dx + \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} ((x^2 - 2x + 2) - (-x + \frac{7}{4})) dx$ で求められる。

しかし、$C_1$ と $C_2$ の中間の曲線は $y = x^2 + 3$。

$C_1$, $C_2$, $l$ で囲まれた面積は、$\int_{-\frac{3}{2}}^{\frac{1}{2}} |x^2 + 3 - (-x + \frac{7}{4})| dx$。

$x^2 + 3 - (-x + \frac{7}{4}) = x^2 + x + \frac{5}{4}$。

$\int_{-\frac{3}{2}}^{\frac{1}{2}} (x^2 + x + \frac{5}{4}) dx = [\frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 + \frac{5}{4}x]_{-\frac{3}{2}}^{\frac{1}{2}} = (\frac{1}{24} + \frac{1}{8} + \frac{5}{8}) - (-\frac{27}{24} + \frac{9}{8} - \frac{15}{8}) = \frac{1}{24} + \frac{6}{8} + \frac{27}{24} + \frac{6}{8} = \frac{28}{24} + \frac{12}{8} = \frac{7}{6} + \frac{3}{2} = \frac{7+9}{6} = \frac{16}{6} = \frac{8}{3}$。

3. 最終的な答え

(1) $y = -x + \frac{7}{4}$

(2) $\frac{8}{3}$

よって、$\frac{3}{4}$ の箇所は $\frac{8}{3}$ となる。