与えられた関数 $f(x)$ について、導関数の定義に従って導関数 $f'(x)$ を求める問題です。具体的には、 (1) $f(x) = \frac{1}{2x}$ (2) $f(x) = \sqrt{x}$ の二つの関数について、それぞれ導関数を求めます。

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x)$ について、導関数の定義に従って導関数 $f'(x)$ を求める問題です。具体的には、

(1) $f(x) = \frac{1}{2x}$

(2) $f(x) = \sqrt{x}$

の二つの関数について、それぞれ導関数を求めます。

2. 解き方の手順

導関数の定義は次の通りです。

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$

(1) $f(x) = \frac{1}{2x}$ の場合

$f(x+h) = \frac{1}{2(x+h)}$ となるので、

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2(x+h)} - \frac{1}{2x}}{h}$

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{x - (x+h)}{2x(x+h)}}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{-h}{2x(x+h)}}{h}$

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{-h}{2x(x+h)h} = \lim_{h \to 0} \frac{-1}{2x(x+h)}$

$h \to 0$ のとき、

$f'(x) = \frac{-1}{2x(x+0)} = \frac{-1}{2x^2}$

(2) $f(x) = \sqrt{x}$ の場合

$f(x+h) = \sqrt{x+h}$ となるので、

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{x+h} - \sqrt{x}}{h}$

分母の有理化を行います。

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(\sqrt{x+h} - \sqrt{x})(\sqrt{x+h} + \sqrt{x})}{h(\sqrt{x+h} + \sqrt{x})} = \lim_{h \to 0} \frac{(x+h) - x}{h(\sqrt{x+h} + \sqrt{x})}$

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{h}{h(\sqrt{x+h} + \sqrt{x})} = \lim_{h \to 0} \frac{1}{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}}$

$h \to 0$ のとき、

$f'(x) = \frac{1}{\sqrt{x+0} + \sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{x} + \sqrt{x}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

3. 最終的な答え

(1) $f'(x) = -\frac{1}{2x^2}$

(2) $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$