定積分 $\int_{-1}^{1} x^2 (x^2 + 1)^2 dx$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{-1}^{1} x^2 (x^2 + 1)^2 dx$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を展開します。

$x^2 (x^2 + 1)^2 = x^2 (x^4 + 2x^2 + 1) = x^6 + 2x^4 + x^2$

したがって、定積分は

$\int_{-1}^{1} (x^6 + 2x^4 + x^2) dx$

となります。

被積分関数は偶関数であるため、

$\int_{-1}^{1} (x^6 + 2x^4 + x^2) dx = 2 \int_{0}^{1} (x^6 + 2x^4 + x^2) dx$

となります。

次に、積分を実行します。

$\int_{0}^{1} (x^6 + 2x^4 + x^2) dx = \left[ \frac{x^7}{7} + \frac{2x^5}{5} + \frac{x^3}{3} \right]_0^1 = \frac{1}{7} + \frac{2}{5} + \frac{1}{3} = \frac{15 + 42 + 35}{105} = \frac{92}{105}$

したがって、

$2 \int_{0}^{1} (x^6 + 2x^4 + x^2) dx = 2 \cdot \frac{92}{105} = \frac{184}{105}$

3. 最終的な答え

$\frac{184}{105}$