与えられた積分 $\int \frac{dx}{x\sqrt{x+1}}$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int \frac{dx}{x\sqrt{x+1}}$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、$u = \sqrt{x+1}$ と置換します。このとき、$u^2 = x+1$ なので、$x = u^2 - 1$ となります。

次に、微分を計算すると、$dx = 2u du$ となります。

これらの置換を元の積分に代入すると、

$\int \frac{dx}{x\sqrt{x+1}} = \int \frac{2u du}{(u^2-1)u} = \int \frac{2 du}{u^2-1}$

となります。

ここで、部分分数分解を行います。

$\frac{2}{u^2-1} = \frac{2}{(u-1)(u+1)} = \frac{A}{u-1} + \frac{B}{u+1}$

両辺に $(u-1)(u+1)$ をかけると、

$2 = A(u+1) + B(u-1)$

$u=1$ のとき $2 = 2A$ より $A=1$

$u=-1$ のとき $2 = -2B$ より $B=-1$

したがって、

$\frac{2}{u^2-1} = \frac{1}{u-1} - \frac{1}{u+1}$

よって、

$\int \frac{2 du}{u^2-1} = \int \left(\frac{1}{u-1} - \frac{1}{u+1}\right) du = \int \frac{1}{u-1} du - \int \frac{1}{u+1} du$

$= \ln|u-1| - \ln|u+1| + C = \ln\left|\frac{u-1}{u+1}\right| + C$

ここで、$u = \sqrt{x+1}$ を代入して、

$\ln\left|\frac{\sqrt{x+1}-1}{\sqrt{x+1}+1}\right| + C$

となります。

3. 最終的な答え

$\ln\left|\frac{\sqrt{x+1}-1}{\sqrt{x+1}+1}\right| + C$