$\int_{0}^{1} \frac{1}{x^{\alpha}} dx$ の値を $\alpha$ の値によって場合分けして求め、与えられた結果と一致することを確認する。

1. 問題の内容

$\int_{0}^{1} \frac{1}{x^{\alpha}} dx$ の値を $\alpha$ の値によって場合分けして求め、与えられた結果と一致することを確認する。

2. 解き方の手順

まず、積分 $\int_{0}^{1} \frac{1}{x^{\alpha}} dx = \int_{0}^{1} x^{-\alpha} dx$ を計算する。

$x^{-\alpha}$ の原始関数は、$\alpha \neq 1$ のとき $\frac{x^{-\alpha+1}}{-\alpha+1} = \frac{x^{1-\alpha}}{1-\alpha}$ である。

$\alpha = 1$ のときは $\int \frac{1}{x} dx = \log |x|$となる。

$\alpha \neq 1$ のとき、

$\int_{0}^{1} x^{-\alpha} dx = \lim_{\epsilon \to +0} \int_{\epsilon}^{1} x^{-\alpha} dx = \lim_{\epsilon \to +0} \left[ \frac{x^{1-\alpha}}{1-\alpha} \right]_{\epsilon}^{1} = \lim_{\epsilon \to +0} \left( \frac{1^{1-\alpha}}{1-\alpha} - \frac{\epsilon^{1-\alpha}}{1-\alpha} \right) = \frac{1}{1-\alpha} - \lim_{\epsilon \to +0} \frac{\epsilon^{1-\alpha}}{1-\alpha}$

$\alpha < 1$ のとき、$1 - \alpha > 0$ なので、$\lim_{\epsilon \to +0} \epsilon^{1-\alpha} = 0$ となり、

$\int_{0}^{1} x^{-\alpha} dx = \frac{1}{1-\alpha}$

$\alpha > 1$ のとき、$1 - \alpha < 0$ なので、$\lim_{\epsilon \to +0} \epsilon^{1-\alpha} = \lim_{\epsilon \to +0} \frac{1}{\epsilon^{\alpha - 1}} = \infty$ となり、

$\int_{0}^{1} x^{-\alpha} dx = \infty$

$\alpha = 1$ のとき、

$\int_{0}^{1} \frac{1}{x} dx = \lim_{\epsilon \to +0} \int_{\epsilon}^{1} \frac{1}{x} dx = \lim_{\epsilon \to +0} [\log x]_{\epsilon}^{1} = \lim_{\epsilon \to +0} (\log 1 - \log \epsilon) = \lim_{\epsilon \to +0} (0 - \log \epsilon) = - \lim_{\epsilon \to +0} \log \epsilon = \infty$

したがって、

$\int_{0}^{1} \frac{1}{x^{\alpha}} dx = \begin{cases} \frac{1}{1-\alpha} & (\alpha < 1) \\ \infty & (\alpha \geq 1) \end{cases}$

3. 最終的な答え

$\int_{0}^{1} \frac{1}{x^{\alpha}} dx = \begin{cases} \frac{1}{1-\alpha} & (\alpha < 1) \\ \infty & (\alpha \geq 1) \end{cases}$