(1) 関数 $f(x)=(1+x)^9$ の展開式における $x^4$ の係数を、微分を使って求める。 (2) 関数 $f(x)=(1+x)^4$ を、$f(x) = b_0 + b_1(x+2) + b_2(x+2)^2 + b_3(x+2)^3 + b_4(x+2)^4$ と表すとき、係数 $b_0, b_1, b_2, b_3, b_4$ の値を、微分を利用して求める。

1. 問題の内容

(1) 関数 $f(x)=(1+x)^9$ の展開式における $x^4$ の係数を、微分を使って求める。

(2) 関数 $f(x)=(1+x)^4$ を、$f(x) = b_0 + b_1(x+2) + b_2(x+2)^2 + b_3(x+2)^3 + b_4(x+2)^4$ と表すとき、係数 $b_0, b_1, b_2, b_3, b_4$ の値を、微分を利用して求める。

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = (1+x)^9$ を微分していく。

$f(x) = (1+x)^9$

$f'(x) = 9(1+x)^8$

$f''(x) = 9\cdot 8(1+x)^7$

$f'''(x) = 9\cdot 8\cdot 7(1+x)^6$

$f''''(x) = 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6(1+x)^5$

$x=0$ におけるテイラー展開を考えると、$x^4$ の係数は $\frac{f''''(0)}{4!}$ である。

$f''''(0) = 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6(1+0)^5 = 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6 = 3024$

したがって、$x^4$ の係数は $\frac{3024}{4!} = \frac{3024}{24} = 126$ 。

(2)

$f(x) = (1+x)^4 = b_0 + b_1(x+2) + b_2(x+2)^2 + b_3(x+2)^3 + b_4(x+2)^4$

この式は $x=-2$ のまわりのテイラー展開を表している。

$b_n = \frac{f^{(n)}(-2)}{n!}$

$f(x) = (1+x)^4$

$f'(x) = 4(1+x)^3$

$f''(x) = 4\cdot 3(1+x)^2 = 12(1+x)^2$

$f'''(x) = 12\cdot 2(1+x) = 24(1+x)$

$f''''(x) = 24$

$f(-2) = (1-2)^4 = (-1)^4 = 1$

$f'(-2) = 4(1-2)^3 = 4(-1)^3 = -4$

$f''(-2) = 12(1-2)^2 = 12(-1)^2 = 12$

$f'''(-2) = 24(1-2) = 24(-1) = -24$

$f''''(-2) = 24$

$b_0 = \frac{f(-2)}{0!} = \frac{1}{1} = 1$

$b_1 = \frac{f'(-2)}{1!} = \frac{-4}{1} = -4$

$b_2 = \frac{f''(-2)}{2!} = \frac{12}{2} = 6$

$b_3 = \frac{f'''(-2)}{3!} = \frac{-24}{6} = -4$

$b_4 = \frac{f''''(-2)}{4!} = \frac{24}{24} = 1$

3. 最終的な答え

(1) $x^4$ の係数は 126

(2) $b_0 = 1$, $b_1 = -4$, $b_2 = 6$, $b_3 = -4$, $b_4 = 1$